全国全国高中数学联赛试题及解答

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1、1997年全国高中数学联赛冯惠愚1997年全国高中数学联合竞赛试卷第一试(10月5日上午8:00-10:00)一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知数列{xn}满足xn+1=xn－xn－1(n≥2)，x1=a，x2=b，记Sn=x1+x2+L+xn，则下列结论正确的是(A)x100=-a，S100=2b-a(B)x100=-b，S100=2b-a(C)x100=-b，S100=b-a(D)x100=-a，S100=b-a矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。2．如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得==λ(0<λ<+∞)，记f(λ)=αλ+βλ其中αλ表示EF与AC所成的角，βλ

2、表示EF与BD所成的角，则聞創沟燴鐺險爱氇谴净。(A)f(λ)在(0，+∞)单调增加(B)f(λ)在(0，+∞)单调减少(C)f(λ)在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少(D)f(λ)在(0，+∞)为常数3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。4．在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x－2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为(A)(0，1)(B)(1，+∞)(C)(0，5)(D)(5，+∞)酽锕极額閉镇桧猪訣锥。5．设f(x)=x2－πx，a

3、=arcsin，β=arctan，γ=arcos(－)，d=arccot(－)，则(A)f(α)>f(β)>f(d)>f(γ)(B)f(α)>f(d)>f(β)>f(γ)(C)f(d)>f(α)>f(β)>f(γ)(D)f(d)>f(α)>f(γ)>f(β)彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。6．如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有(A)0条(B)1条(C)多于1的有限条(D)无穷多条謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。二．填空题(每小题9分，共54分)1．设x，y为实数，且满足则x+y=.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。2．过双曲线x2－=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ

4、使得

5、AB

6、=λ的直线l恰有3条，则λ=.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。3．已知复数z满足=1，则z的幅角主值范围是．4．已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。-12-1997年全国高中数学联赛冯惠愚5．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。6．设a=l

7、ogz+log[x(yz)-1+1]，b=logx-1+log(xyz+1)，c=logy+log[(xyz)-1+1]，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为．預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。三、（本题满分20分）设x≥y≥z≥，且x+y+z=，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。四、(本题满分20分)设双曲线xy=1的两支为C1，C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．(1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；(2)设P(-1，-1)在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标．-12-1997年全国高中数学联赛冯惠愚五、(本题满分20分)

8、设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。其中S为实数且

9、S

10、≤2．求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．第二试(10月5日上午10:30-12:30)一、（本题50分）如图，已知两个半径不相等的⊙O1与⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点.求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。二、（本题50分）试问：当且仅当实数x0，x1，…，xn（n≥2）满足什么条件时，存在实数y0，y1，…，yn使得z=z+z+…+z成立，其中zk=xk+iyk，i为虚数单位，k=0，1，…

11、，n.证明你的结论.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。-12-1997年全国高中数学联赛冯惠愚三、（本题50分）在100×25的长方形表格中每一格填入一个非负实数，第i行第j列中填入的数为xi,j（i=1，2，…，100；j=1，2，…，25）（如表1）.然后将表1每列中的数按由小到大的次序从上到下重新排列为x¢1,j≥x¢2,j≥…≥x¢100,j（j=1，2，…，25）.（如表2）坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。求最小的自然数k，使得只要表1中填入的