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《2012第六章正态随机过程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、随机过程第六章：正态随机过程第六章：正态随机过程6.1随机变量特征函数的回顾6.2多维正态随机变量的定义与协方差矩6.3n维正态随机变量的性质6.4正态随机过程的定义6.5正态随机过程的性质正态随机过程定义：如果对一个随机过程任意选取n个时刻，则得到n个相应的随机变量,若此n个随机变量的联合分布都是n维正态分布，则称随机过程X(t)是正态随机过程（高斯过程）。6.1随机变量特征函数的回顾随机变量的特征函数：随机变量的概率密度函数和特征函数之间存在一一对应关系，因此在得知随机变量的特征函数后，就可以知道它的概率密度函数。（1）特征函数的定义juX设X为随机变量，称e的数学期望为随机
2、变量X的特征函数。记为：iuXC(u)=E[e]X+∞jux连续型CX(u)=∫ef(x)dx−∞∞离散型juxCX(u)=∑eP{x=xi}i=0已知特征函数，求概率密度函数：1+∞-juxf(x)=C(u)edu∫X2π−∞例题6-1：X~N(0,1),求C(u)X+∞22xu1−−解：C(u)=ejuXe2dx=e2X∫2π−∞详细解答见教材P8例题1.2。2解答：X~N(a,σ),求C(u)?X222+∞(xa−）σujuX1−22jua−2结论：Cu()==eeσdxeX∫2πσ−∞（2）特征函数的性质ò具有C(u)≤C(0)=1XXòX的特征函数为C(u)，则Y=aX
3、+b的特征函数为：XjubC(u)=eC(au)YX证明：juaXb()+jubjXuaCuEe()=[]=eEe[]Yjbu=eCu()aX例题：2X~N(a,σ),求C(u)?X解：构造YXa=σ+其中X~N(0,1)2(σu)jua-jua2C(u)=eC(σu)=eYX（3）特征函数的矩定理K设X和Y是随机变量，若E（X），K=1，2...存在，则称它为X的K阶原点矩。K若E（X-EX），K=1，2...存在，则称它为X的K阶中心矩。Kl若E[XY]存在，K，l=1，2...，则称它为X和Y的K+l阶混合矩。Kl若E（[X-EX）（Y-EY）]存在，K，l=1，2...，
4、则称它为X和Y的K+l阶混合中心矩。nnn−dCuX()性质1：E[X]=()j
5、nu=0du证明：（归纳法证明）+∞当n=1时：jj−−11dCuX()
6、=d[(ejuxfx)dx]
7、uu=00∫=dudu−∞+∞−1jux=jejxf()
8、xdx∫u=0−∞+∞==∫xfxdx()EX[]−∞性质2：证明省略。（4）多维随机变量的特征函数多维随机变量的特征函数定义：定义：⎛⎞x11⎛⎞u⎜⎟⎜⎟d..d若X==⎜⎟u⎜⎟⎜⎟..⎜⎟⎜⎟⎜⎟xu⎝⎠nn⎝⎠特征函数：C...(u...u)=E[eju1x1+ju2x2+....junxn]x1xn1ndddTjuTX即：CdT
9、(u)=E[e]X多维随机变量的特征函数性质：①若X1，X2统计独立，则：Cu(,)uCu=()()Cuxx12,12x11x22推广到n个：CuuC(,...)=()...uCu()x11,...xnnn1XX1n+∞+∞证明：Cu(,)[uE==ejuxj11++ux22]ejuxj11ux22f(,)xxdxdxxx12,12∫∫1212−∞−∞若独立，则f(,)xx=fxfx()()121122+∞+∞Cu(,)u=ejux11+jux22fxfxd()()xdxxx12,12∫∫112212−∞−∞+∞+∞==efjux11(xdxe)ju22xfxdx()CuCu()
10、()∫∫111222XX1212−∞−∞②边际特征函数：CuCu(,)0=()XX12,1X11推广到n个：Cu(,...uCu,0)=(...u)XX11,...nn1n−1XX...−11n−1证明：CuE(,0)[=ejux11+jux22]
11、XX12,1u2=0jux11==Ee[]Cu()X11ddddddT③已知()[]TjuX,,CuEedT=且则Y=+AXbXdddTjvTbTdCveCvAddTT()=()YX证明：ddTdTjux已知CudT()E=[]e,:则XddddddddddTjvYTTjv()AX+bjvTbj(AvT)XCvdT()E==[]Ee[
12、e]=eE[e]YddTjvbT=eCdT(vA)Xjub比较：Y=aX+bC(u)=eCu(a)YX6.2多维正态随机变量的定义与协方差矩（1）一维正态随机变量一维正态随机变量X的概率密度函数可以表示为：2()x−a1−2fx()=e2σX2πσ2记为XNa~(,)σ22σu22jau−σu特征函数为:C()ue==2exp(jau−)X2（2）二维正态随机变量若随机变量X,X的联合概率密度函数可以表示为：1211x11−−a12()xaxa1()2−2fxx(,)=−−exp
