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1、第七章随机过程的基本概念第七章随机过程的基本概念§7.1随机过程的定义7.1.1随机过程的定义在前面几章讨论的随机现象，一般可由随机变量或随机向量来描述，那里主要涉及一个或有限个随机变量。在极限定理中，我们涉及了无穷多个随机变量，但它们之间是相互独立的。在这一章，我们将研究无穷多个相互有关的随机变量。在许多实际问题中，我们不仅需要对随机现象作一次观察，而且要做多次，甚至要接连不断地观察它的演变过程。这种需要促进了随机过程理论的诞生，直观地说，随机过程理论研究的对象就是随机现象演变过程的统计规律性。先举几个例子。
2、例7.1.1以()t表示某电话机在时间区间[0,)t内接到的呼唤次数，则对每一确定的tt(0,+),()是一个随机变量。但是t可以变动，因此在这里，所涉及的不再是一个或几个随机变量，而是一族无限多个随机变量。例7.1.2以X()t表示某车站上自时刻t到t为止来到的乘客的总数，则对每一确定的0ttTXt[,],()是一个随机变量。当t在[,]tT上变化时，得到一族无限多个随机变量。00例7.1.3考虑纺织机所纺出的某一根棉纱，以Ax()表示坐标为x处的棉纱的横截面积，则对固定的x,()Ax是一个随机变量
3、，当x变动时，得到一族无限多个随机变量。例7.1.4在玻尔氢原子模型中，电子可以在允许的轨道上运动，我们以“X()ti=”表示“电子在时刻t在第i条轨道上运动”。假设电子轨道的变动只在时刻ttt,,,发生，那123么当t分别取ttt,,,这些值时，就得到一族随机变量XtXt(),(),.12312例7.1.5我们在这段时间内来观察液面上作布朗运动的微粒（注：英国植物学家布朗发现，漂浮在液面上的微小粒子，不断地进行着杂乱无章的运动，后来就称这种运动为布朗运动）。从统计物理学的观点看，粒子的这种运动是由于受到
4、大量随机的相互独立的分子碰撞的结果。如果用((),())XtYt表示时刻t时粒子的位置，则由于运动是杂乱无章的，((),())XtYt是一个二维随机向量，当t变动时，就得到一族无限多个二维随机向量。现在我们给出随机过程的数学定义。定义7.1.1设给定概率空间(,,)F以及参数集T(,)-+,如果对每一tT，有1第七章随机过程的基本概念一个定义在(,,)F上的随机变量Xt(,),,与之对应，则称依赖于参数t的一族随机变量X(,)t为随机过程，用符号{(,),XttT}表示。通常简记为
5、{(),XttT}或{()}.Xt定义中采用“过程”一词是因为参数大多表示时间之故。但也有例外的，如例7.1.3，对于这种情形，有时采用随机函数一词，我们这里不打算区分这两术语，而一律采用“随机过程”一语。1定义中的参数集T是直线=-+(,)中的子集，它可有如下形式⒈T为离散集：⑴T为有限集，如果Tn={1,2,,},此时{(),XttT}即为随机向量((1),(2),,());XXXn⑵T为可列集，如果TT=={1,2,},{2,1,0,1,2,},--等，此时{(),XttT}为随机序列
6、{(1),(2),}XX或{XXXXX(2),--(1),(0),(1),(2),}等。⒉T为非离散集（以连续参数为主）⑴Tab=[,];⑵T=+[0,);⑶T=-+(,)等。我们这里所讨论的随机过程{(),XttT}，其中每个X()t都是随机变量。如果它是随机向量（如例7.1.4），则称为向量随机过程。还应指出的是，在描述一些更为复杂的物理现象（如气体力学或流体力学等领域）时，随机过程{(),XttT}的参数t可以是多维的量，例如T可以是平面上的某个子集，则t是二维的量；T也可以是三维空间的某
7、个子集，相应地，参数t是三维或四维的量。比如考虑某一海面的海浪高度随时间变化情形，则需要用四维参数txyz=(,,,)，其中x,,yz是三维空间点的坐标，是时间。在研究大气湍流时，也有类似情况。当参数t为多维的量（记为t）时，随机过程{(),XttT}就称为随机场。今年来。随机场论已经引起国内外不少学者的注意，取得了一些研究成果。7.1.2随机过程的分类1设给定随机过程{(),XttT}，以E表示X()(ttT)的值域，当E时，称此随2第七章随机过程的基本概念机过程为实随机过程。我们主要讨论实随机
8、过程，今后如无特别说明，所提及的随机过程均指实随机过程。根据TE,是离散（即有穷或可列）集或非离散集可把随机过程{(),XttT}分成四类：⑴参数集T离散，值域集E离散的随机过程；⑵参数集T离散，值域集E非离散的随机过程；⑶参数集T非离散，值域集E离散的随机过程；⑷参数集T非离散，值域集E非离散的随机过程。比如，在例7.1.1中，TE=+(0,),={0,1,2,},{(),t
