数学分析2测试题答案new

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1、数学分析2测试题1参考答案一、填空题（每小题4分，共36分）3131.f(x)==xx,0处.2.x=1与x=-1,3yx=+.3.,0,1.2232x4.(ln)xC2+5.0.6.22xòf(t)dt+xfx()3a17..8.p9.1-a.a二、计算题(每小题8分,共48分)1.y¢¢=3x(x-2),由y=0得稳定点为与xx==02,从而知y在(-¥¥,0),(2,+)上递增,在[0,2]上递减.又y¢¢=6x-y,由得yx¢¢==01,从而曲线在(-¥,1)上是凹的,在(1,)+¥上是凸的.x=0为极

2、大值点,x=2为极小值点.2.设xt=2sin.21I=4òsin2tdt=2(t-+sin4)tC4xxx232=2arcsin-(4-x)4+-+xC242223.原式=òxsinxdsinx=xsinx-òòsinxd(xsinx)=xsinx-+sinx(sinxxcos)xdx22-原式=-xsinxòsinxdx所以,原式=1211xsinx-x++sin2xC248(注:本题也可以用其它方法解之)2151-t4.设5-4x=t.I=-=òdt3865.交点为(0,0),(1,1),(2,4)127

3、2A=òò(2x-x)dx+(2)x-=xdx016nn+1un+1(n+1)2ne!11n6.Qlim=lim×=lim(1+)1=>nn+1n®¥unn®¥2(n+1)!nn®¥22n¥nnån发散.n=12!n1三、证明题(每小题8分,共16分)n-111.(1)f¢(x)=n(1-x)[1-+(nx1)],由f¢(x)=01得稳定点与xx==.n+1n+11æön比较x=0,x=,x==1的函数值知:Mn()ç÷nn++11èøn+1æönn11(2)limMn()=limç÷=lim×=n®¥nn®

4、¥èøn++11®¥ne1n(1)+n2.反证法.若存在xι[a,b]为f(x)的连续点且,fx()0.由保性知:001$d>0,当有xÎ[x-dd,x+]Ç[a,b]=>[a,b],

5、f(x)

6、

7、fx()

8、001102从而ba1b11bb

9、fx()

10、0òa

11、f(x)

12、dx=òa

13、f(x)

14、dx+òa

15、f(x)

16、dx+òòba

17、f(x)

18、dx³

19、f(x)

20、0dx³>1112与条件矛盾,从而题设成立.数学分析2测试题2参考答案一、填空题（每小题4分，共36分）1.(i)f¢¢(x)³0,(ii)在[a,b]的任

21、一子区间上,fx()0不恒为.152.x=2与x=-2,3yx=+.3.,1,2.4.-+lnsinxC22bb-x5.-òòf(x)d(-x)=--f()tdt6.òf(t)dt+xfx()aa-a2pp7.-arctga.8.9.0.22二、计算题(每小题8分,共48分)21.y¢¢=3(1-x),由y=0得稳定点为与xx=11=-,从而知y在(-¥¥,-1),(1,+)上递减,在[-1,1]上递增.又y¢¢=-6x,由得yx¢¢==00,从而曲线在(-¥,0)上是凸的,在(0,)+¥上是凹的.x=-1为极

22、小值点,x=1为极大值点.2.设xt=2sin.22xxI=4òsintdt=2arcsin4--+xC2222x223.I=xln(x+1+x)-òdx=xln(x+11+x)-++xC21+xp62p34.设t=sint.I=òsintdt=-01285.交点为(0,1),(-8,-3)10x+232A=2òò1-xdx+(+1)-=xdx08-23n+1un+1(nn+1)!11n6.Qlim=lim×=lim(1+)=<012nn®¥unn®¥[(n++1)!]1n®¥nnn¥nnå2收敛.n=1(n

23、!)三、证明题(每小题8分,共16分)pp1.(1)设f(x)=x+(1-Îxx),[0,1]pp--111f¢(x)=px--px(1),由f¢(xx)0==得稳定点.211比较x=0,xx==,1的函数值知:f(x)的最大值为1,最小值为,所以p-1221ppp>1时,"xÎ[0,1],有£xx+(1-£)1p-122.因为f(x)在[a,b]上可积,所以f(x)在[a,b]上有界,从而存在M>0,使得

24、f(xM)

25、£,"Îx[ab,].x+Dxxx+D又

26、F(x+Dx)-F(x)

27、=£

28、òòf(t)dt

29、

30、

31、f(t)

32、dtxxe所以"xÎ[a,b],取Dx使得x+DÎx[ab,],从而有:"e>0,$dd=,当

33、D

34、,时有Mx+Dxxx+D

35、F(x+Dx)-F(x)

36、£òò

37、f(t)

38、dt£Mdt=Mx

39、

40、D