数学分析2选讲new

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1、第十二章数项级数（数学分析选讲2教案）数学分析选讲2第十二章数项级数§1数项级数的基本概念和性质教学内容：数项级数的基本概念，收敛判别法。教学目的：(1)掌握数项级数的相关概念；(2)深刻理解掌握数项级数收敛的判别法。教学重点：数项级数收敛判别法教学难点：级数的敛散性的柯西判别法教学过程一、基本概念定义1对于数项级数，称为级数的前项和或部分和。定义2，设为级数的前项和，若数列收敛，极限为，则称级数收敛，其和为。若数列发散，则称级数发散。二、数项级数的性质定理12.1(柯西收敛准则)级数收敛对于任给的，存在,对任意的及自然数，有。定理12.2添加、去掉

2、或改变一个级数的有限项所得到的新级数与原级数有相同的敛散性，但收敛时，和可能会发生变化。18第十二章数项级数（数学分析选讲2教案）定理12.3收敛的必要条件为。定理12.4收敛的级数的项中可以任意加括号，所得的新级数仍收敛，和不变。三、级数收敛的判别法1、正项级数定义3若，则称级数为正项级数。定理12.5正项级数收敛的充要条件为它的前项和数列有上界。定理12.6(比较判别法)对于正项级数和，存在,当有。则(i)若收敛，则也收敛；(ii)若发散，则也发散。定理12.7对于正项级数和，若，则(i)当时，和有相同的敛散性；(ii)当时，收敛，也收敛。(ii

3、i)当时，发散，也发散。定理12.8(比式判别法)设为正项级数，且存在及常数,18第十二章数项级数（数学分析选讲2教案）(i)当时有，则收敛；(ii)当时有,则发散。推论、对于正项级数，若。则(i)若，则级数收敛；(ii)若，则级数发散；(iii)若，则无法用此定理判断。定理12.9对于正项级数，若存在,(i)存在，当有。则收敛；(ii)当有,则发散。推论、对于正项级数，若，则(i)若，则级数收敛；(ii)若，则级数发散；(iii)若，则无法用此定理判断。定理12.10设函数在非负单调减少，则与积分具有相同的敛散性。定理12.11(拉贝判别法)设为正

4、项级数，且存在及常数，(i)对一切,有不等式，则级数收敛。18第十二章数项级数（数学分析选讲2教案）(ii)对一切,有不等式,则级数发散。推论对于正项级数，若，则(i)当时，级数收敛；(ii)时，级数发散。2、交错级数判别法定义4若级数的项中正负交错，则称级数为交错级数。定理12.12(莱布尼茨判别法)对于交错级数，若(i)；(ii)。则级数收敛。3、一般项级数定义5对于级数，若收敛，则称绝对收敛。若收敛而发散，则称条件收敛。定理12.13绝对收敛的级数一定收敛。定理12.14(阿贝尔判别法)若(i)级数；(ii)单调有界。则级数收敛。18第十二章数

5、项级数（数学分析选讲2教案）定理12.15(狄利克雷判别法)若(i)的部分和数列有界；(ii)单调趋向于零。则级数收敛。四、重要数列的敛散性1、数列当时收敛，当时发散。2、对于级数，当时收敛，当时发散。注：要证明一个级数的敛散性1、区分级数的类型(1)对于正项级数考虑应用定理的顺序为①比式判别法或根式判别法②拉贝判别法③比较判别法④积分判别法⑤阿贝尔判别法或狄里克雷判别法⑥柯西收敛准则(2)对于交错级数①莱布尼茨判别法②阿贝尔判别法或狄里克雷判别法③柯西收敛准则柯西收敛准则(3)一般级数18第十二章数项级数（数学分析选讲2教案）①绝对收敛判别法②柯西

6、收敛准则③阿贝尔判别法或狄里克雷判别法五、习题例1设为递减正项数列，则与级数具有相同的敛散性。证明：设的前项和为，的前项和为。由条件可知,(1),(2)若收敛，得有界，由(2)知有界，即收敛；若发散，得无上界，由(1)zhi1无上界，即发散。例2证明收敛。证明：与之间有个数。，显然有：18第十二章数项级数（数学分析选讲2教案）。所以。令，知。所以，又因为，所以。对任意的，存在,当时，有，当时，存在，使得。对于任意的自然数，。得收敛。例3证明：若正项级数收敛，且单调，则。证明：由于非负单调知，单调减小。对任给的，存在，当时有。又由于。，所以。18第十三

7、章函数项级数（数学分析选讲2教案）第十三章函数列与函数项级数教学内容：函数列与函数项级数的概念，一致收敛判别法。教学目的：(1)函数列与函数项级数的相关概念；(2)理解掌握函数列与函数项级数一致收敛的判别法。教学重点：函数列与函数项级数一致收敛的判别法教学难点：狄里克雷和阿贝尔判别法的应用教学过程一、函数列1、函数列的定义下列形式称为一个函数列其中叫做函数列的第项。此函数列可简记为2、函数列的收敛点和发散点设函数列的定义域的交集为,对于,若数列收敛，则称为函数列的一个收敛点。的所有收敛点的集合叫做的收敛域。设的收敛域为,定义函数.，.称函数为的极限函

8、数，记为，例1，。知当，时，当时，，当时，，，当时，18第十三章函数项级数（数学分析选讲2教案），不存在。故