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1、第六讲导数和微分基本定义和基本理论一、导数的定义(一)引例1、求变速直线运动的瞬时速度。设一质点做直线运动，其运动规律为x=x(t),求在tD时刻的瞬时速度.(1)求tD到tD+Δt时段的平均速度:Δxx(tD+Δt)−x(tD)v==ΔtΔt(2)若x(t)为连续函数Δx若lim存在,则称此极限为x(t)ΔtΔt→0在tD时刻的瞬时速度.2、求切线斜率定义:设曲线y=f(x)当其上动点Q(x,y)沿曲线无限接近点P(xDy,D),若割线PQ有极限位置PT,则称PT为曲线y=f(x)在P点的曲线.求P点的切线斜率.令x=xD+Δ
2、xy−yDf(xD+Δt)−f(xD)kPQ=x−xD=Δxf(xD+Δt)−f(xD)若lim存在,则称此极限Δx→0Δx为曲线y=f(x)在P(xDy,D)点的切线斜率.二、导数的定义定义设函数在的某邻域有定义，若极限fx0fx()00+Δ−xfx()limΔxΔ→x0则称此极限为函数在的导数，记作(fxfx').00f()xxf00+Δ−(x)fx')l(=im0ΔxΔ→x0fxfx()−()0=limxx−0xx→0Δy=limΔxΔ→x0单侧导数的定义定义设函数在的某个右（左）邻域有定义，fx0fxfx()()−−00
3、ΔΔyy⎡fxfx()()⎤若极限lim==limlimlim++xx−Δ00x⎢−−xx−Δx⎥xx→Δx→00xx→Δx→00⎣⎦则称此极限为函数在的右（左）导数，fx0记作(fxfx')').()(+−00（三）有限增量公式Δy若f在xD处可导,f′(xD)=limΔx→0Δx由极限与无穷小的关系知:Δyε=−f′(xD)为Δx→0时的无穷小量ΔxΔy=Δx⋅f′(xD)+ε⋅Δx⎫ε⋅Δx=0⇒ε⋅Δx=D(Δx)⎬limΔx→0Δx⎭⇒Δy=Δx⋅f′(xD)+D(Δx)称为y=f(x)在xD处的有限增量公式.可导与连
4、续的关系定理5.1f在xD点可导⇒f在xD点连续不能注意：f在xD点连续⎯⎯→⎯⎯f在xD点可导⎧xsin1x(x≠0)例如：f(x)=⎨⎩0(x=0)1在x=0处不可导,而limxsinx=0=f(0)x→0即:f(x)在x=0处连续.逆否：f在xD点不连续⇒f在xD点不可导.例题：求f(x)=x在0点的左右导数与导数.⎧xx≥0解:f(x)⎨⎩−xx<0′f(x)−f(0)f−(0)=→lim−x=−1x0′f(x)−f(0)f+(0)=→lim+x=1x0′′∵f−(0)≠f+(0)∴f′(0)不存在.二、导函数若f在I上
5、每一点都可导(在端点处只需左右可导),则称f为I上的可导函数.′′∀x∈I,都有唯一一数f′(x)(端点为f+(x)或f−(x))与之对应,这样定义了一个新函数y=f′(x)(x∈I),称它为f在I上的导函数,或简称导数.f(x+Δx)−f(x)dyf′(x)=lim⇔y′=Δx→0ΔxdxD注意:1求上式极限时,将x看成常量,Δx看成变量;D2f′(x)
6、x=xD=f′(xD)求导法则一、导数的四则运算定理5.5f′(x)=μ′(x)±v′(x)定理5.6f′(x)=μ(x)v′(x)+v(x)μ′(x)μ(x)定理5.7f′
7、(x)=()′v(x)μ′(x)v(x)−μ(x)v′(x)μ′(x)=≠2v(x)v′(x)推论(μvw)′=μ′vw+μv′w+μvw′(cv(x))′=cv′(x)x=xDD二、反函数的导数定理5.8设y=f(x)是x=ϕ(y)的反函数,若x=ϕ(y)在y的某领域内连续,严格单调,D且ϕ′(y)≠0,则y=f(x)在点ϕ(y)可导,DD1且f′(x)=Dϕ′(y)D三、复合函数的导数定理5.9设μ=ϕ(x)在点x可导,y=f(μ)D在点μ=ϕ(x)可导,则复合函数fDϕ在点x可导,DDD且(fDϕ)′(x)=f′(μ)ϕ′
8、(x)=f′(ϕ(x))ϕ′(x)DDDDD四、参变量函数的导数设平面曲线C是由参变量方程⎧x=ϕ(t)⎨(α≤t≤β)⎩y=φ(t)其中ϕ(t),φ(t)在[α,β]上可导.dyϕ(t)在[α,β]上严格单调,ϕ′(t)≠0,求.dxdyψ'()t=dxφ'()t五、隐函数的导数设函数(,)=0能够唯一确定出单值Fxy函数=(),则(,())=0,yfxFxfx在此方程两端对求导得xFFy+='0,xyFx关于求解得yy''=−.Fy对数求导法高阶导数的计算法则（uv）′=u′v+uv′（uv）′′=u′′v+2uv′′+uv
9、′′""（n）0（n）1（n−1）n（0）（n）（uv）=Cuv+Cuv′+"+Cuvnnnnk（n−k）（k）=∑Cnuv—莱布尼茨公式k=0习题类型与解题方法求导数或求微分例1(R39)、设函数f()xa=+−−φφ(bxa)(bx),其中（φxx)'在=a
