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1、浙江大学2008-2009学年春夏学期《数学分析II》课程期末考试试卷参考答案jxj+jyj一.(10分)1.求极限lim的值.(x;y)!(1;1)x2+y2jxj+jyj1111jxj+jyj解:*0··+,又lim+=0,)lim=0.x2+y2jxjjyj(x;y)!(1;1)jxjjyj(x;y)!(1;1)x2+y2@2z2.设f(x;y)在R2上有所有的二阶连续偏导数，又设z=f(x+y;yex)，试求.@x@y@z解:=f(x+y;yex)+f(x+y;yex)yex,12@x@2z=f(x+y
2、;yex)+f(x+y;yex)(y+1)ex+f(x+y;yex)e2xy+f(x+y;yex)ex.1112222@x@y二.(20分)计算+P1xn1.求幂级数(¡1)n+1的收敛半径，并求其在收敛域上的和函数.n=1na1+P1(¡1)n+1解:R=limjnj=limn=1.当x=1时,为交错级数,由Leibniz判n!+1an+1n!+11n=1nn+1+P1(¡1)n+1(¡1)n+P11别法知其收敛.当x=¡1时,=¡发散,故收敛域为(¡1;1].设8x2n=1nn=1n+P1(¡1)n+1xn
3、+P1(¡1)n+1xn(¡1;1];f(x)=,又在(¡1;1)上内闭一致收敛,故可逐项求导,即n=1nn=1n+P1xn+P1+P11有f0(x)=(¡1)n+1()0=(¡1)n+1xn¡1=(¡1)nxn=.又f(0)=0,所以f(x)=xZn=1nn=1n=01+xxdt+P1(¡1)n+1+P1(¡1)n+1xn=ln(1+x).又因为收敛,所以在[0;1]上一致收敛,故f(1)=01+tn=1nn=1nlimf(x)=limln(1+x)=ln2.于是8x2(¡1;1];f(x)=ln(1+x).
4、x!1¡x!1¡2.设f(x)是一个R上的以2为周期的函数，它在[¡1;1]上的定义为jxj，求其在[¡1;1]上+P11的Fourier级数展开式,并用其计算级数的和.n2n=1解:由于f在[¡1;1]上按段光滑,因此可展开成Fourier级数.又8>>Z1<1;n=0Z1an=jxjcos(n¼x)dx=bn=jxjsin(n¼x)dx=0;8n2N+:¡1>>2¡1:((¡1)n¡1);n2N;n2¼2+1+P121所以,f(x)=+((¡1)n¡1)cos(n¼x);8x2[¡1;1].特别地,当x=0
5、时,有0=+2n=1n2¼22+P11+P11¼2+P11((¡1)n¡1).于是有=.因为绝对收敛,设其和为s,则有s=n=1n2¼2k=1(2k¡1)28n=1n2+P11+P11¼2s¼2+,从而s=+,于是s=.k=1(2k¡1)2k=1(2k)2846三.(30分)计算1.求函数f(x;y)=x3¡4x2+2xy¡y2的极值.解:f(x;y)在R2上处处可微,f(x;y)=3x2¡8x+2y=0,f(x;y)=2x¡2y=0.联立xy方程解得:p1(0;0);p2(2;2).又fxx(x;y)=6x¡
6、8;fyy(x;y)=¡2;fxy(x;y)=2.所以对于点p1,1有(ff¡f2)j=12>0;f(0;0)=¡8<0.故p为f的极大值点,此时极大值为0.对于xxyyxyp1xx1点p而言,有(ff¡f2)j=¡12<0,故p不是f的极值点.2xxyyxyp22因此函数f的极值为0.ZZsinx2.设D是由三条直线y=¼¡x;x=¼;y=¼所围的平面有界闭区域,求dxdy.xDZZZ¼Z¼Z¼sinxsinxsinx解:dxdy=dxdy=¢xdx=2.x0x¼¡x0xD3.设D是由抛物线y2=2x和两直线
7、x+y=4;x+y=12所围的平面有界闭区域，试求D的面积.p解:作变换u=x+y;v=y,则变换后的区域Duv为f(u;v)j4·u·12;¡1¡2u+1·v·p@(x;y)@(u;v)¡1+2u+1g.又=1==1,于是@(u;v)@(x;y)ZZZZZ12Z¡1+p2u+1@(x;y)196A(D)=dxdy=jjdudv=dudv=:@(u;v)4¡1¡p2u+13DDuvx2+y24.设有一抛物形子弹头，与空间中的立体V=f(x;y;z)j·z;z2[0;1]g重合，其密度2为½(x;y;z)=2z+
8、1,试求其质量.ZZZZZZ17¼解:m=(2z+1)dV=dxdy(2z+1)dz=.x2+y23Vx2+y2·22¼四.(10分)计算曲线积分:设¡是任意一条从O(0;0)到B(;1)的分段光滑曲线，试求2ZI=(2xy3¡y2cosx)dx+(1¡2ysinx+3x2y2)dy¡的值.¼2解:由Green公式得:I=.4五.(10分)计算曲面积分ZZxdydz+ydzdx+zdx
