一类具有时滞的chemostat模型的稳定性分析

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1、第10卷第16期2010年6月科学技术与工程V01．10No．16June2O1O1671-1815(2010)16·3816-04ScienceTechnologyandEngineering@2010Sci．Tech．Engng．一类具有时滞的Chemostat模型的稳定性分析孙明娟郝晓辉董庆来(延安大学数学与计算机科学学院，延安716000；唐山师范学院数学与信息科学系，唐山063000)摘要研究了一类具有时滞的、增长函数为Tissiet型的微生物连续培养模型，讨论了解的存在性、有界性和平衡点的局部稳定性，

2、利用Lyapunov—LaSaUe不变性原理证明了边界平衡点的全局渐近稳定性．关键词Chemostat时滞稳定性Lyapunov-LaSalle不变性原理中图法分类号0175．21；文献标志码AChemostat(恒化器)是一个用来连续培养微生8So，S=S0Y，t=r／Q，m=g／Q，a=／S0，b=S0／ki，物的实验装置⋯，是简化的湖泊模型，可用于模拟并且仍用t记，则系统(1)化为湖泊和海洋中单细胞藻类浮游生物的生长。文献[2]研究了增长函数为Tissiet型的Chemostat动力j-c)=-_e一(

3、一

4、rJ一()2系统模型，详细分析了解的渐近行为。然而，在微)=1e-by(t)X()生物连续培养过程中，微生物的增值与所消耗掉的考虑到生物意义，假设系统的初始条件为营养并不是瞬时完成的，即存在时间滞后现(t)=l(t)i>0，Y(t)=2(t)I>0，象H。大量的研究结果表明：在一些系统模型1+2≠0，t∈[一r，0](3)中，时滞可能会破坏系统平衡点的稳定性产生周期式(3)中，(t)和：(t)是[一r,O]上的连续函数。振荡；而在另外一些系统模型中，时滞对系统平衡点的稳定性和系统的持久性却是无害的。因此，在l解的

5、存在性、非负性和有界性模型中引入时滞是有必要的．本文将在文献[2]的基础上，进一步考虑具有时滞的Chemostat动力系统本节讨论系统(2)满足初始条件(3)的解的存模型：在性、非负性和有界性，有如下结论：『x(t)：e一QX()定理1系统(2)满足初始条件(3)的解《⋯((t)，Y(t))在[o，+∞)上存在、非负、有界，且集=Q(S。一s(t))-e㈩合G={=(，2)∈CI1>10，0≤2≤1}关于系(1)统(2)是正向不变的。式(1)中s(f)和(t)分别表示在t时刻培养皿中营证明由泛函微分方程解的局部存

6、在性定理知_5j，对某个常数>0，(t)和Y(t)在[0，)上存养和微生物的浓度，S。为输入的初始营养浓度，Q在。容易证明当t∈(0，y)时，(t)≥0和Y(t)≥0表示流出率，表示营养的消耗率，，k，k为正常数，r≥0为时滞。对系统(1)无量纲化，令X=恒成立。下面证明()和Y(t)在[0，)上有界。事实上，由系统(2)和(t)，Y(t)在[一．r，)上的非2010年3月29日收到延安大学重点科研基金项目资助负性，对任意的t∈[0，)，有第一作者简介：孙明娟(1981一)，山东烟台人，助教，硕士研究生，f(t)

7、≤，础(t一)一()f4)研究方向：金融数学与生物数学。I(t)≤1一y(￡)16期孙明娟，等：一类具有时滞的Chemostat模型的稳定性分析3817由于时滞线性系统线性近似系统的零解是稳定的；rz；(t)=mu(t—r)一u(t)r5、(4)女口果m>1，，ne一<口+1，me一(1一b)<1，I(t)：l一(￡)一6+aby。一口>0，即系统(2)存在两个正平衡点满足初始条件u(t)=‘P(t)，(t)=‘P2(t)(一下≤t≤0，E+和E控+，则对任意的时滞>t0，E+是局部qo。，‘P如同式(3))的解

8、(u(t)，(t))在[0，+∞)上存渐近稳定的，E+是不稳定的。在且唯一。因此由泛函微分方程解的比较原理证明考虑系统的平衡点Ei+=(，y)(i=1，知，对任意的tE[0，)，有(t)≤M(t)，y(t)≤(t)。2l，22，3)．做变换=—，Y=y—Y，则系统(2)因此，((f)，y(t))必在[0，y)上有界。由泛函微分方在E，处对应的线性化系统为程解的延拓定理[可知，(x(t)，y(t))在[0，+∞)上』(t)=一()+(￡一)+l，(f一．r)(6)存在，并且进一步可证是非负的。由系统(2)的第2个【

9、(t)=一AX(t)一(1+B)l，(t)方程，显然有limsup(t)≤1。进一步还可以证明对式(6)中r(x，)=mxye—by／(口+Y)，任意的t1>O，Y(t)≤1。事实上，如果存在t>0使得A=(，y)=mye一竹／(n+Y)，y(t)>1，则由拉格朗日中值定理知，存在t∈(0，t，)，日=F(，Y)=(一6)，一aby+口)×y(t：)>l使得)，(t：)>