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《一类积分方程的近似解new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第30卷第1期武汉水利电力大学学报Vol.30No.11997年2月J.WuhanUniv.ofHydr.&Elec.Eng.Feb.1997一类积分方程的近似解皮新明(武汉交通科技大学)摘要对于一类带参数的积分方程,给出了用退化核逼近非退化核时的显式解,并分别给出了3种条件下的误差估计.关键词积分方程;退化;正交函数中图法分类号O175.5y都是平方可积的,而利用退化核kn(x,y)来逼近1引论k(x,y),从而得出方程(1)的近似解.考虑积分方程x2主要结果及其证明(x,y)+k(,
2、y)(x,)d=f(x,y),a先考虑方程x[a,b],(1)x(x,y)-k(,y)(x,)d=f(x,y),如果k(x,y)是退化核an(5)k(x,y)=!pj(x)qj(y),(2)[2]j=1现在用逐步逼近法来解.先将方程(5)改写为式中pj(x),qj(y)及f(x,y)(关于y)均在[a,b]x(x,y)=f(x,y)+k(,y)(x,)d.(6)上平方可积,且诸pj(x)之间、诸qj(y)之间均线a性无关.令0(x,y)=f(x,y),令∀∀
3、Q(y)=(qTn+1(x,y)=f(x,y)+1(y),∀,qn(y)),xxk(,y)n(x,)d,n∃0,fi(x)=pi(y)f(x,y)dy,aa若序列{n(x,y)}一致收敛于某极限,则这个极i=1,2,∀,n,T限就是方程(5)的解.设k(x,y)与f(x,y)都在F(x)=(f1(x),∀,fn(x)),[a,b]#[a,b]上连续,且
4、k(x,y)
5、%M,xE=(pi(y)qj(y)dy)n#n,
6、f(x,y)
7、%J,则a
8、1-0
9、%
10、
11、
12、MJ(x-a),令I为单位矩阵.(3)2则利用文献[1]的方法可得定理1.
13、22(x-a)2-1
14、%
15、
16、MJ,2定理1具有退化核(2)式的积分方程(1)存∀∀在唯一解的充要条件是det(I+E)恒不为0,且当nnn(x-a)解唯一存在时有
17、n+1-n
18、%
19、
20、MJ.n!(x,y)=f(x,y)-QT(I+E)-1F.(4)易知对一切值,级数&以下设k(x,y)在[a,b]#[a,b]上关于x,0(x,y)+![n+1(x,y)-n(x,y)]n=0收稿日期:1995-05-16皮新明
21、,男,副教授,从事积分方程的研究,武汉交通科技大学应用数学系(430063)第1期皮新明:一类积分方程的近似解83对于(x,y)[a,b]#[a,b]绝对一致收敛,且由式(8)可知,任给%>0,存在自然数n0,使
22、
23、M(x-a)
24、
25、M(b-a)
26、
27、=
28、limn
29、%Je%Je,当n∃n0时,n∋&n(7).k(x,y)-!qj(y)pj(x).<%.j=0故方程(5)存在唯一解.因此,以下只考虑形如式n(1)的方程.且在所设条件下,如k(x,y)为退化令kn(x,y)=!qj(y)pj(x),(10
30、)j=0核,则定理1的条件自动满足,式(4)即为唯一解,设&(x,y)是方程(1)的解,而&n(x,y)是方程与limn(x,y)一致.xn∋&(x,y)+kn(,y)(x,)d=gn(x,y)(11)以下记k1(x,y)=k(x,y),∀,kn+1(x,y)ax的解,式中gn(x,y)满足=k(!,y)kn(x,!)d!(更准确地说,是kn+1(,alimmax
31、gn(x,y)-f(x,y)
32、=0.xn∋&a%x,y%by;x)=k(!,y)kn(,!;x)d!,n∃2).
33、现在来证明a&limmax
34、&n(x,y)-&(x,y)
35、=0.nn∋&a%x,y%b令∀(x,y)=!(-1)kn(x,y),(8)n=1由&和&n的定义知易知此级数关于(x,y)[a,b]#[a,b]绝对一x&(x,y)+k(,y)&(x,)d=f(x,y),致收敛,于是积分与级数求和可以交换次序,从而ax方程(1)的解可以表示为r&n(x,y)+kn(,y)&n(x,)d=gn(x,y).xa(x,y)=f(x,y)+∀(,y)f(x,)d,a(12)且称∀(x,y)为方
36、程(1)的(预解核).故由于k(x,y)在[a,b]#[a,b]上连续,可知&(x,y)-&n(x,y)=f(x,y)-gn(x,y)-2x对任一y[a,b]有k(x,y)L[a,b].注意到[k(,y)-kn(,y)]&n(x,)d-2aL[a,b]关于内积xbk(,y)[&(x,)-&n(x,)]d.(13)∗f,g+=f(x)g(x)#(x)dxaa[3]成为可分的Hilbert空间.为简便计,不妨
