方程的近似行波解

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1、KdV方程的近似行波解数学与应用数学专业学生：王芳指导教师：高正晖摘要：本文利用傅里叶级数法,吴消元法获得了KdV方程的多组近似行波解.关键词：KdV方程;傅里叶级数法;吴消元法;近似行波解1引言随着应用科学的发展,使得描述实际现象的非线性偏微分方程越来越突现其重要性.最早用于描述浅水波现象的KdV方程.在经过长时间沉寂后,随着孤波理论的发展,方程本身和解的意义被人们重新认识,吸引了科学家的研究兴趣.人们发现各种不同形式的KdV方程可以描述很多领域中的不同现象.如:弱非线性,弱色散的平面波系统运动,等离子体中的磁流体波.而方程的近似

2、解能使物理现象得到进一步的解释.因此,对数学家、物理学家、工程学家及应用科学工作者来说,寻找对应实用背景方程的近似解一直是大家关注的问题.由于非线性方程问题的复杂性和特殊性,非线性方程没有统一的求解办法,因而出现求解非线性方程的各种方法,如直接积分法,混合指数法,齐次平衡法,双曲函数展开法及Baclund变换法等.所有这些方法都有一定的局限性.本文采用傅里叶级数法和吴文俊消元法,获得了非线性方程KdV的多组近似行波解.2KdV方程的求解方程可表示为：.（1）现在用傅里叶级数法来求解上述方程，为了求解（1）式.令：（2）将（2）式代入

3、方程（1）可得常微分方程：.（3）对（3）式积分一次，取积分常数，得：.（4）由傅里叶级数法,设方程（4）有如下形式的行波解.（5）2.1当时：.（6）其中为待定系数.将（6）式代入（4）式即：（7）令(7)式中的常数项以及各次项的系数为零，得到如下方程组：解得：①②其中为任意常数.于是方程（4）有如下形式的解：①②2.2当时：（8）其中为待定系数.将（8）式代入（4）式即：（9）令（9）中的常数项及各次项的系数为零，得到如下方程组：（10）利用吴消元法解上述关于的方程组得：①②③④⑤⑥⑦⑧其中为任意常数.于是方程（4）有如下形式的

4、解：①②③④⑤⑥⑦⑧3结束语本文以KdV方程为例,介绍了用傅里叶级数法和吴消元法求解近似行波解的方法,从而揭示了求解非线性发展方程精确行波解理论与技巧.参考文献：[1]赵长海.KdV方程的显示行解[J].海南师范大学学报（自然科学版），2010,23（3）:142-146.[2]高正晖，罗李平，杨柳.求非线性发展方程精确行波解的几种方法[J].衡阳师范学院学报，2009,30（6）：13-17.[3]高正晖.(2+1)维CD方程的精确行波解[J].科学技术与工程，2009,9（8）：2122-2125.[4]刘洪林，刘洪元.吴消元法

5、的初等代数形式[J].沈阳师范大学学报（自然科学版），2005,23（3）：248-251.[5]刘洪元.吴消元法与四元术[J].辽宁大学学报（自然科学版）,2004,1(4)：338-341.[6]张克磊.几类非线性波动方程行波解分支的研究[D].桂林：桂林科技大学数学研究所，2010.[7]殷俊.三类广义KdV方程的行波解[D].成都：四川师范大学，2008.[8]傅海明.一类五阶KdV方程行波解[J].鸡西大学学报，2008,8（6）：142-143.[9]叶健芬，蔡桂平，虞凤英.利用双曲函数法研究非线性方程的行波解[J].温

6、州师范学院学报(自然科学版)，2006,27(2)：1-4.[10]李俊焕，郑一.两种方法求KdV方程的新解[J].青岛理工大学学报，2011,32（5）：123-126.ApproximateTravelingWaveSolutionsofKdVEquationMathematicsandAppliedMathematicsAuthor：WangFangTutor:GaoZhenghuiAbstract:Inthispaper,KdVequationgroupsoftravelingwavesolutionsareobtained

7、byusingFourierseriesmethodandWueliminationmethod.Keywords:KdVequation;Fourierseriesmethod;Wueliminationmethod;Approximatetravelingwavesolutions