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1、第三章复变函数的积分本章介绍复变函数的积分概念，解析函数积分的主要性质.重点是Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、Cauchy(高阶)导数公式.§3.1复变函数的积分1积分的概念2积分存在条件及性质3积分实例1.积分的概念设C为平面上给定的一条连续曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线。如果A到B作为曲线C的正向,yB那么B到A就是曲线C的负向,−记为C.Axo关于曲线方向的说明:以后把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点
2、到终点的方向.简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P沿此yP方向前进时,邻近P点的P曲线的内部始终位于P点P的左方.Pxo与之相反的方向就是曲线的负方向.设函数w=f(z)定义在区域D内,C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线,把曲线C任意分成n个弧段,设分点为A=z,z,L,z,z,L,z=B,01k−1kn(在每个弧段zzk−1k(k=1,2,L,n)yBC上任意取一点ζk,zn−1ζkzk记∆zk=zk−zk−1,ζ1ζ2zk−1Azz2(1∆sk为zk−1zk的长度,oxnn作和式Sn=∑f(ζk)⋅(zk−zk−1)=
3、∑f(ζk)⋅∆zk,k=1k=1令δ=max{∆sk},当n无限增加且δ→0时,1≤k≤n如果不论对C的分法及ζ的取法如何,S有唯kn一极限,那么称这极限值为函数f(z)沿曲线C的积分,yB记为Czn−1ζnkzk∫f(z)dz=lim∑f(ζk)⋅∆zk.ζ1ζ2zk−1Cn→∞Azz2k=11ox关于积分定义的说明:(1)如果C是闭曲线,那么沿此闭曲线的积分记为∫f(z)dz.C(2)如果C是x轴上的区间a≤x≤b,而f(z)=u(x)为实函数,这个积分定义就是一元实变函数定积分的定义.2.积分存在的条件及积分性质如果f(z)是连
4、续函数而C是光滑曲线时,积分∫f(z)dz一定存在.Cnn∑f(ζ)∆z=∑[u(ξ,η)∆x−v(ξ,η)∆y]kkkkkkkkk=1k=1n+i∑[v(ξk,ηk)∆xk+u(ξk,ηk)∆yk]k=1∫Cf(z)dz=∫udx−vdy+i∫vdx+udyCC公式∫f(z)dz=∫udx−vdy+i∫vdx+udyCCC从形式上可以看成是f(z)=u+iv与dz=dx+idy相乘后求积分得到:∫f(z)dz=∫(u+iv)(dx+idy)CC=∫udx+ivdx+iudy−vdyC=∫udx−vdy+i∫vdx+udy.CC复变函数
5、的积分与实函数的积分有类似的性质.(1)∫f(z)dz=−∫−f(z)dz;CC(2)∫kf(z)dz=k∫f(z)dz;(k为常数)CC(3)∫[f(z)±g(z)]dz=∫f(z)dz±∫g(z)dz;CCC(4)设C的终点是C的起点，C=C+C,则1212∫f(z)dz=∫f(z)dz+∫f(z)dzCC1C2(5)设曲线C的长度为L,函数f(z)在C上满足f(z)≤M,则∫f(z)dz≤∫f(z)ds≤ML.CC估值不等式例1设C为从原点到点3+4i的直线段,试估计1积分∫dz模的一个上界.Cz−i解C的参数方程为z=(3+4i
6、)t,(0≤t≤1),因此111∫dz≤∫ds=∫CdsCz−iCz−i3t+(4t−1)i11=∫C22ds=∫C2ds(3t)+(4t−1)⎛4⎞925⎜t−⎟+⎝25⎠251525故∫dz≤∫ds=.Cz−iC333.积分的计算设C:z=z(t)=x(t)+iy(t)(α≤t≤β)是一条光滑曲线，z(α)是C的起点,z(β)是C的终点，则∫f(z)dz=∫β{u[x(t),y(t)]x′(t)−v[x(t),y(t)]y′(t)}dtCα+i∫β{v[x(t),y(t)]x′(t)+u[x(t),y(t)]y′(t)}dtα=∫β
7、{u[x(t),y(t)]+iv[x(t),y(t)]}{x′(t)+iy′(t)}dtα=∫βf[z(t)]z′(t)dt.α例2计算∫zdz,其中C为:圆周z=2.C解积分路径的参数方程为=2iθ(0≤≤2π),zeθiθdz=2iedθ2πzdz=2⋅2iθd∫∫ieθ(因为z=2)C02π=4i∫(cosθ+isinθ)dθ0=0.1例3求∫n+1dz,C为以z0为中心,r为半C(z−z)0yz径的正向圆周,n为整数.θ⋅zr0解积分路径的参数方程为=+iθ(0≤≤2π),zzreθx0oiθ12πiredz=dθ∫C(z−z)
8、n+1∫0rn+1ei(n+1)θ0i2π−inθ=edθ,rn∫0当n=0时,yz1θ2π⋅dzzr∫n+1=i∫dθ=2πi;0C(z−z)00当n≠0时,xo1i2πdz=(cosnθ−isinnθ)
