分数布朗运动环境中最值期权定价

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1、第25卷第5期工程数学学报Vol.25No.52008年10月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSOct.2008文章编号:1005-3085(2008)05-0843-08分数布朗运动环境中最值期权定价¤薛红,王拉省(西安工程大学理学院，西安710048)摘要:假定股票价格遵循由分数布朗运动驱动的随机微分方程，建立了分数布朗运动环境下金融市场数学模型，利用分数布朗运动随机分析理论与未定权益定价方法，获得欧式未定权益一般定价公式，并得到欧式最值期权价格的解析表达式以及平价关系。关键词:分数布朗运动；未定权益；最值期权分类号:AMS(20

2、00)60H10;90A06中图分类号:O211;F830文献标识码:A1引引引言言言衍生证券定价理论是金融数学的核心内容之一，在经典的Black-Scholes定价模型中，假定股票价格服从几何布朗运动，主要采用偏微分方程或鞅方法，得到欧式期权定价公式[1-3]。文[4-5]在假定资产价格服从几何布朗运动情形下讨论了几种资产最值期权定价公式。虽然不少学者对经典的Black-Scholes定价模型做出了许多改进，但通常关于期权定价理论都是假设资产价格服从由布朗运动驱动的随机微分方程。近年来，一些学者利用分数布朗运动驱动的随机微分方程来描述资产价格变化过程[6]：其一，几何布朗运

3、动的性质（马氏性，鞅性等）导致资产价格也满足此类性质，比如未来某时刻的资产只与现在价格有关，而与过去价格无关，这就与人们直觉相矛盾；由于分数布朗运动既不是半鞅也不是马氏过程，所以它能够描述半鞅和马氏过程描述不了的现象；几何布朗运动仅仅是分数布朗运动Hurst参数等于1/2时的特殊情形；其二，分数布朗运动具有自相似性和长期依赖性，这与人们对金融市场直观感觉一致，即未来某时刻股票的价格不仅与现在价格有关，还与过去相当一段时间的价格有关。同时一些实证分析也表明资产价格变化过程遵从分数布朗运动驱动的随机微分方程。所以利用分数布朗运动驱动的随机微分方程来描述资产价格变化过程更加切合实际

4、，而且许多国内外学者已开始从事关于分数布朗运动的随机分析理论以及应用方面研究[6-7]。本文假定股票价格服从由分数布朗运动驱动的随机微分方程，建立了分数布朗运动环境下的欧式未定权益定价模型，并得到了欧式最值期权定价公式。关于分数布朗运动概念、性质以及随机分析等相关理论可参见文献[6-7]。2欧欧欧式式式未未未定定定权权权益益益的的的定定定价价价模模模型型型设金融市场M中有n+1种证券，1种无风险资产即债券，其价格满足方程8

5、集值随机分析.¤基金项目:陕西省教育厅基金项目(05JK207).844工程数学学报第25卷n种风险资产如股票，i(i=1;2;¢¢¢;n)种风险资产的价格满足方程8>:Si(0)>0;P其中r;¹i;¾ij(i;j=1;2;¢¢¢;n)为常数，=(¾ij)n£n为可逆矩阵，BH1(t);BH2(t);¢¢¢;BHn(t)为概率空间(•;F;P)上的Hurst参数分别为H1;H2;¢¢¢;Hn(0

6、BH2(t);¢¢¢;BHn(t)产生的自然¾¡流。由分数布朗运动的构造知，存在(•;F;P)上的n维标准布朗运动B1(t);B2(t);¢¢¢;Bn(t)，使得ZBHi(t)=MHi(0;t)(s)dBi(s);i=1;2;¢¢¢;n;R其中MHi(i=1;2;¢¢¢;n)如文[6]中(2.28)式定义。为方便起见，设¹=(¹;¹;¢¢¢;¹)0;1=(1;1;¢¢¢;1)0，B(t)=(B(t);B(t);¢¢¢;B(t))0.并12nn12nP¡1令µ=(¹¡r1n):即µi满足Xn¾ijµj=¹i¡r;i=1;2;¢¢¢;n;j=1我们定义新的概率测度P^满足nodP

7、^100jFT=exp¡µµT¡µB(T);dP2并令B^(t)=µt+B(t);06t6T;则由Girsanov定理知，B^(t)=fB^1(t);B^2(t);¢¢¢;B^n(t)g是关于P^的n维标准布朗运动。再令ZB^Hi(t)=MHi(0;t)(s)dB^i(s);i=1;2;¢¢¢;n;R则B^H1(t);B^H2(t);¢¢¢;B^Hn(t)是关于P^的分数布朗运动，且有XndSi(t)=rSi(t)dt+Si(t)¾ijdB^Hj(t);06t6T;i=1;2;¢¢¢;n;j=1我们称P