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《求解非线性随机微分方程欧拉法的收敛性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、http://www.paper.edu.cn求解非线性随机微分方程Euler法的收敛性王鹏飞，殷凤忻州师范学院数学系，山西忻州（034000）E-mail：wangpfyf88@126.com摘要：数值方法的有效性对于求解随机微分方程是很重要的，收敛性就是衡量其合理性的标准之一.本文证明了Euler法用于求解标量自治非线性随机微分方程时,在方程的偏移系数和扩散系数均满足全局李普希兹条件的情形下,,Euler法均值意义上的局部收敛阶为2，均方意义上的局部收敛阶为3/2，强收敛阶为1关键词:随机微分方程；Euler法；收敛阶；全局李普希兹条件中图分类号:Ｏ175文献标识码:Ａ1前言随机微
2、分方程在描述现象中起着越来越重要的作用，但在解决实际问题时存在与常微分有同样的问题，那就是其解析解不易求得，所以构造合理的数值方法就显得十分重要，所构造的数值方法的合理性取决于方法本身的收敛性和稳定性。近年来关于求解随机微分方程数值方法收敛性[3][4][5][6][7][8]的文章主要集中在线性随机微分方程，对于非线性微分方程收敛性的研究主要集中在常微分方程是。对于型如下面的非线性随机微分方程dy=+ftydt(,)gtydwt(,),∈=[0,],(0)TYYy,∈R（1）tttt0其中f(,)ty,g(,)ty为[0,]T上的连续可测函数,分别称为偏移系数和扩散系数,tt2且.E
3、y<∞wt()为标准的wiener过程。其增量∆wt()=+−wthwt()()服从正态分布0bbb22N(0,)h，且有性质Egtyd
4、(,)(wt)
5、0=、E
6、(,)()
7、gtydwt=Egty[
8、(,)
9、]dt∫t∫∫ttaaa对于随机微分方程（1）的数值方法yyh%%=+Φ(,,y%ywh%,∆)(=TN,tn==h,n0,1,,)LN记yt()为精确解，y%ttnn++11tnttnnnn+1tn+1为用数值方法得到的数值解，yt%()为数值方法迭代一步得到的解，即n+1yt%()=+yΦ(,,,)hyy∆wnt+1nntttn+1n定义1[1,3]若存在常数C>0(C不依赖
10、于h)，有max(
11、(Eyt)−≤→yt%()
12、)Chhp1(0)nn++110≤≤nNmax(
13、(Eyt)−≤yt%()
14、)212Chhp2(→0)且满足pp≥≥12,p+12，则称数值方nn++112120≤≤nN法均值意义上的局部收敛阶为p，均方意义上的局部收敛阶为p12[1,2,3]定义2若存在常数C>0(C不依赖于h)，δ>0使得pmax(
15、(Eyt)−≤=y%
16、)Chn.1,2,L,N,h∈(0,)δ，则称数值方法是p阶强收敛。0≤≤nNnt+1n+1-1-http://www.paper.edu.cn2数值算法θ法[1]定义3称格式⎧⎪ii=+ii∆hh∆+∆+i33ii
17、i∆∆+∆∆iiiyyHy(,,,,twhwhhHyζζ)(,,,,twhwh)wnn+11nnn26nn2nnn26nnn⎨ii⎪⎩yy(0)=0i为第i次模拟的数值格式，其中y表示对与y同分布的随机变量的第i次独立抽样。00称格式⎧ttn+1n+1⎪yyH=+(,,,,(ytB∆hBBd−))uhHytB+(,,,,(∆hBBd−))uB∆ttn+1n12tnnnn∫∫ttuttnnnnutn⎨nn⎪yy(0)=⎩t00为第i次模拟理论格式令H(,,,)yth=F，H(,,,)yth=G则有11n21n定义4称yyF%%=++∆hGw为θ法，其中ttnn+111tnF==ftyGg
18、ty(,),%%(,),11ntnnnt定理1若f(,)ty,g(,)ty满足全局李普希兹条件。即存在正常数LLKK使得1212f(,)tyfsy−≤(,)Lts(−)；f(,)tyftx−(,)≤−Kyx()11g(,)tygsy−≤−(,)Lts()；g(,)tygtx−(,)≤−Kyx()22(,∀∈∀∈xyRts,,[0,]T)且数值方法均值意义上的局部收敛阶为p，均方意义上的局部1收敛阶为p，则方法的强收敛阶数为p。23数值算法的收敛性分析定理2若f(,)ty,g(,)ty满足全局李普希兹条件，则Euler法的均方收敛阶数值方法均值意义上的局部收敛阶为p=2，均方意义上的局部
19、收敛阶为p=32，强收敛阶数为p=112证明：由Euler法的数值方法知Φ∆(,(hyt%%),(),ytw)=+ftyt(,()))%hgtytw(,%)∆,nnnn+1nnnn对dy=+ftydt(,)gtydw(,)两边在[0,]T积分有ttttTTyT()(0)−=yftyd(,)ς+gtydw(,)()ς∫∫00tt所以对∀≤≤≤0ttT有yt()−=yt()ftytt(,)(−)−gty(,)∆wnnntnnnnttnttnn++1
