2010高数a_1_试题(a)参考答案及评分标准new

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1、一、填空题（每小题3分，共15分）21.x12.()0,1]2,0(3.4.2009!5.K22二、选择题（每小题3分，共15分）1.A2.D3.C4.C5.B三、计算题（每小题5分，共20分）12x1cosx11cosx1211.解：原式=limlimlimx0x(1cosx)(1cos)x2x0x(1cosx)2x012xx2(1分)(2分)(4分)(5分)x2t2x1(e1)dtex1x21t202.解：lim(e1)dtlimlimlimx0

2、0x3x0x3x03x2x03x23(2分)(3分)(5分)xxxxxexeexe2e3.解：fx()，xfxx()dxfxd()xfx()fxx()dc2xxx(2分)(4分)(5分)2yyy4.解1:(1)xtt,x2t1，方程tey10两边对t求导,得eteyy0tttyyyeedyyet从而,y(3分)所以,.ty1teydxxyt(21)tydye1当t0时,x0,y1,因而,dydxdxdx

3、(5分)t0dxyt(21)et0t0dtdt12t0xt(1t)0,dxdx解2:方程组y两边对x求导得，(2分)tey10eydtteydydy0dxdxdxdtdy11将t0,y1代入得1,,(4分)故dydx.(5分)t0t0dxdxeet0t0四、（10分）解：f(00)cf,(00)0,(0)fc,因fx()在x0处连续，所以c0。(3分)2fx()f(0)axbsinx0fx()f(0)ln(1x)0

4、f(0)limlimb,f(0)limlim1，x0xx0xx0xx0x因fx()在x0处一阶可导，所以b1,(6分)2axcos,xx0,且fx()1,x0,(8分)1,x0,1xfx()f(0)2axcosx1f(0)limlim2,ax0xx0x1(10分)1fx()f(0)1xxf(0)limlimlim1,x0xx0xx0x(1x)1因fx()在x0处二阶可导

5、，所以a.(11分)2n2n1n1五、（7分）解：令fx()2(1nx)2nx(1x)2(1nx)[1(n1)]x0,1得唯一驻点x(2分)n11由fx()在[0,1]上有最大值,而可能的最大值点在x0,1或取到,比较三点的函数值n112n1n得到Mf()(1)(4分)nn1n1n1n1n1(n11)1limM2lim(1)2lim(1)2e(7分)nnnn1n1nn132dV2六、（8分）解:设立方体的边长为x,则其体积为Vx

6、,表面积为S6,xkx(6).(2分)dt3dV2dx22dxdx将Vx两边对t求导得：3x，所以，由kx(6)3x得2k.(4分)dtdtdtdt这说明边长以每小时2k个单位的常速率减少.因此,若立方体的初始边长为x,一小时后边0长为xx2k,即2kxx.冰全部融化的时间为使得2ktx的t值，由此，100101xx1x82220013t融化,而()0.962kxxxx9381111011()102(1)2(1)3x8380(5分)(7分)1所以，t

7、25.0,故融化掉其余部分需要约24.0小时.(8分)融化10.9632七、（10分）解：（1）设切点为(,xx)，则yx()3x。所以切线L的方程为000032yx3(xxx)(2分)00032令x1,y5代入得2x3x50，有唯一实根x1，故切点为(1,1).(3分)000所以,切线L的方程为y3x2。(4分)342yx2332x27（2）由解得x1,2,D的面积为S(3x2xx)d(x2x)(7分)y3x2124412223226（3

8、）所求体积为V[(3x2)()]dxx(9x12x4x)dx0023217264(3x6x4xx)(10分)707ab八、（8分）结论：设fx()在[,]ab上连续，且关于x为偶函数(即对[,]ab中的2ababbabb任何x有f(x)f(x))，则xfxx()dfxx()d.(3分)22a2a证明：设xabt,则dx