2010年高数试题参考答案.doc

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1、2010年高数试题参考答案一、选择题(1)C(2)B(3)D(4)D二、填空题(9)0(10)-4π(11)0(12)三、解答题(15)[分析]直接利用二阶常系数线性微分方程的求解方法．解：由方程y"-3y'+2y=0的特征方程λ2-3λ+2=0解得特征根λ1=1，λ2=2，所以方程y"-3y'+2y=0的通解为．设y"-3y'+2y=2xex的特解为y*=x(ax+b)ex，则(y*)'=(ax2+2ax+bx+b)ex，(y*)"=(ax2+4ax+bx+2a+2b)ex．代入原方程，解得a=-1，b=-2，故特解为：y*=x(-X-2)ex，所以原方程的通解为(16

2、)[分析]求变限积分f(x)的一阶导数，利用其符号判断极值并求单调区间．解：令f'(x)=0，得x=0，x=±1．因为当x＞1时，f'(x)＞0；当0＜x＜1时，f'(x)＜0；当-1＜z＜0时，f'(x)＞0；当x＜-1时，f'(x)＜0．所以f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)，(0，1)；f(x)的单调递增区问为(-1，0)，(1，+∞)．极小值为f(1)=f(-1)=0，极大值为[评注]也可用二阶导数的符号判断极值点，此题属基本题型．(17)[分析]对(Ⅰ)比较被积函数的大小，对(Ⅱ)用分部积分法计算积,再用夹逼定理求极限．解：(Ⅰ)当0≤t≤1时，0≤ln(1

3、+t)≤t，故

4、lnt

5、[ln(1+t)]n≤

6、lnt

7、tn．[评注]若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息．(18)[分析]用比值判别法确定收敛区问，进而确定收敛域；利用幂级数的逐项求导求和函数．解：因为，所以当x2＜1,即-1＜x＜1时，原幂级数绝对收敛.当x=±1时，级数为，由莱布尼兹判别法显然收敛，故原幂级数的收敛域为[-1,1]．由于f(0)=0，所以从而幂级数的收敛域为[一1，1]，和函数为xarctanx，x∈[-1，1]．[评注]对于缺项的幂级数，一般用比值判别法确定收敛区间；本题也可令t=x2转化为不缺项的幂级数．(19)[分析]本题考查了空间曲线的

8、计算与投影，第一型曲面积分的计算等多个知识点，属综合题．解：(1)求轨迹C．令F(x，y，z)=x2+y2+z2-yz-1，故动点P(x，y，z)的切平面的法向量为={2x，2y-z，2z-y}．由切平面垂直xOy，得2z-y=0．注意到P在椭球面S：x2+y2+z2-yz=1上。故所求曲线C的方程为：(2)计算曲面积分．因为曲线C在xOy平面的投影为，又方程x2+y2+z2-yz=1两边分别对x，y求导得[评注]对于第一类曲面积分注意利用曲面的方程化简被积函数表达式．