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3、难点：判别函数极值第一、二、三充分条件闭区间上的最大最小值教学内容：一极值判别函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征。费马定理（定理5.3）已经告诉我们，若函数在点可导，且为的极值点，则=0，这就是说可导函数在点取极值的必要条件是=0。注定理5.3说明可导函数的极值只能在其驻点处取到，即是驻点只是可导函数在点取得极值的必要条件，而不是充分条件，如，是其驻点，但并不是的极值点,下面讨论充分条件。定理6.10（极值的第一充分条件）设在点连续，在某邻域U0(;δ)内可导。（ⅰ）
4、若当∈(-δ,)时，当∈（,+δ）时，则在点取得极小值。（ⅱ）若当∈（-δ,）时，当∈（,+δ）时，则在点取得极大值。(析)由定理的条件及定理6.3,结合极值的定义易证结论成立.注1由定理6.10易看出，函数单调区间的分界点——驻点、不可导的点是可能的极值点(只是可能的极值点!未必一定是,如是函数的驻点，但非极值点)，求函数极值的第一步：先将可能的极值点找出来；第二步：用第一充分条件进行判断.注2定理6.10为判定极值的充分条件而非必要条件.考察例子它有极大值由于当充分小且时,的符号决定于的符号,而在的充
5、分小的领域内,无限次改变正、负号,因此不满足定理6.10的条件.由此可见,若在点取极大值,则在点的充分小的领域内,不一定在点左侧上升,右侧下降.(问)若是二阶可导函数，是否会有更方便的判别极值存在的方法呢？定理6.11（极值的第二充分条件）设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且.（ⅰ）若，则在取得极大值。（ⅱ）若，则在取得极小值。(析)由条件及在处的二阶泰勒公式.知.(1)又因，故存在正数，当时，与同号，所以，当时，（1）式取负值，从而对任意有即在取极大值,同样对,可得在点取极小值.注定理6.11为判定
6、极值的充分条件而非必要条件.考察例子显然,它有极小值由于因此不满足定理6.10的条件.例1求的极值点与极值。解在（-∞，+∞）上连续，且当时，有易见，为的稳定点，为的不可导点，这两点是否是极值点，需作进一步讨论，现列表如下（表中表示↗递增，表示↘递减）：(-∞,0)0(0,1)1(1,+)+不存在-0+y↗0↘-3↗由上表可见：点为的极大值点，极大值(0)=0；为的极小值点，极小值(1)=-3（图6-7）例2求的极值点与极值。解当时，.令,求得稳定点，又因,依定理6.11，为的极小值点，极小值(6)=10
7、8。（问）对于应用二阶导数无法判别的问题，可否借助于更高阶的导数来判别呢？定理6.12（极值的第三充分条件）设在的某邻域内存在直到n-1阶导函数，在处n阶可导，且，则（ⅰ）当n为偶数时，在取得极值，且当时取极大值，时取极小值。（ⅱ）当n为奇数时，在处不取极值。该定理的证明类似于定理6.11，我们将它留给读者。例3试求函数的极值。解由于，因此是函数的三个稳定点，的二阶导数为由此得，及所以在时取得极小值，求三阶导数有由于为奇数，由定理6.12知在不取极值。再求的四阶导数有.因为为偶数，故在取得极大值。综上所述
8、，为极大值，为极小值。注定理6.12仍是判定极值的充分条件而非必要条件，考察函数很显然，它在处取极小值0.但因，所以无法应用定理6.12对它作出判别。二最大值与最小值在生产实践中，常常需要解决在一定条件下怎样使最小投入、最大产出，最低成本、最大效益等,在数学上，这就是某一函数（通常称为目标函数）的最大值与最小值问题,一般地，函数的最值不一定就是其极值，但如果函数的最值是在区间内部的点处取到，则此最值点必是极值点.换句话说，函数
