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1、2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-矩阵可逆的充要条件知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂Z力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vipl对1等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。三.矩阵可逆的充要条件1•伴随矩阵设州为〃阶矩阵A的代数余子式，定义A*=(Ay/.)=绻•••A”,)为A的伴随矩阵。注：注意伴随矩阵中代数余子式的排列顺序里行和列是相反的，A*的第行的元素是A第，列元素的代数余子式;【例1】：计算下列矩阵A的伴
2、随短阵A*。'ab、r-211、(1)A=cdj(2)A=1-21J1-2;/‘333、'd-b、；(2)A=333/<333丿【答案】：（1）2•伴随矩阵的性质设A为〃阶方阵,A*为它的伴随矩阵则有AA=AA=
3、A
4、E0【证明】：注：这是伴随矩阵最重要的性质，它是通过行列式按行与按列展开的定理证明的，考牛要掌握其推理过程。该公式不但是解决与伴随短阵相关问题的关键，更重要的还在于它可以推出矩阵可逆的充要条件:3.矩阵可逆的充要条件定理：设A为〃阶方阵，则A可逆的充要条件为
5、A
6、HO。【证明】：推论：设A为”阶方阵，那么当AB=E或BA=E时，有A1=B【证
7、明】：注：该定理的意义在于将计算或者验证逆矩阵的工作减少了一半，只需说明AB=E或BA=E即可，但在使用该定理时一定要注意A必须为方阵。【例2］：设3阶方阵A满足A2+A=E,求(1)A"1；(2)(A+3E)」。【答案】：(1)A+E；(2).5【小结一燉来说，题H中给出了矩阵的等式，要计算某矩阵的逆矩阵，我们常见的思路就是利用矩阵的运算法则对等式变形、分解因式，从小凑出逆矩阵的定义。【例3】：设©为3维列向量，满足=A=^t+Eo(1)验证A2-3A+2E=O；(2)求(A+E)_，o【答案】：(2)便二6【例4】：设A,B均为3阶方阵，H满足AB+B—
8、A=O。证明A+E可逆并求(A+E)_，；【答案】：E-Bo【小结】：矩阵与其逆矩阵是可交换的，类似地，矩阵与具伴随矩阵也是町交换的，这是我们证明矩阵可交换的常见思路O2、100丿试计算A-1o【小结利用单位矩阵变形的技巧是解题屮很重要的思路。‘005002【例6】：设人=1-20]_2"33_11330000?、110【答案】：001-2<-25【小结】：逆矩阵的计算方法1）利用定义：设A为〃阶方阵，如果能得到AB=E或BA=E,则有B“=A。这是计算抽象矩阵逆矩阵最帘用的方法，一•般來说，当题日屮给出了相关矩阵的等式时，就可以通过相关运算法则进行变形，凑
9、出等式AB=E或BA=E。2）利用相关性质：一般來说，我们在利川定义计算逆矩阵时，还会结合逆矩阵的相关性质,考牛要熟练掌握相关的公式，灵活运用。3）利用初等行变换：设A为〃阶可逆矩阵，我们口J以通过初等行变换來计算其逆矩阵。对分块矩阵（AE）做初等行变换，将矩阵A化为E,此时的E就化为了A"，也即(AE)-行》（EA_,)o需要注意的是只能做行变换。23〕例如:计算A=1-10的逆矩阵k-121丿（223100、<1-10010、(AE)=1-10010T-121001-121001)1223100丿7/<1-1001()、<1001-4-3、<1001-
10、4-3—>011011T0101-5-3T0101-5-3<0431-2()'0-11-6一4丿<001-164‘1-4-3、因此A.1=1—5—3o<-164丿计算低阶数值型矩阵的逆矩阵，往往采用初等行变换的方法。考试一般不会直接考查这一方法，但它是我们求解后续章节很多题目的基础，是考牛必须熟练掌握的基本技能。4)利用伴随矩阵：公式A"二丄A*也可以用于计算逆矩阵。例如，借助2阶矩阵的伴随lAl…c(a汀1((1-b矩阵的公式，我们有：当ad-bc^0时，，=o(caJad-bc-ca)但一般来说，伴随矩阵的计算要比逆矩阵的计算复杂，所以我们更多地是反
11、向运用该公式,通过逆矩阵来讨论伴随矩阵。【例7】：设A为〃阶可逆矩阵，证明：【例8】：设A为斤阶可逆矩阵，k工0,证明：厂100)【例9】：SA=220,贝
12、J(A〒=。<345丿【答案】：丄A.10【例10】：设A为〃阶可逆矩阵，求(A〉。【答案1
13、Ar2A.(AoY【例讪设A・B均如阶可逆矩阵，求bJ【答案】:b
14、a*oo
15、a
16、b*【小结】：与伴随矩阵相关的考题是考试的难点之一，一般來说，我们在处理伴随矩阵的时候有两个思路：如果已知矩阵A可逆，则用公式A*=AA'1；如果矩阵A不可逆或矩阵A是否可逆未知，贝IJ使用公式AA、A*A=
17、A
18、E或玄接使用伴随
19、矩阵的定义。在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分
