专题21 正弦定理和余弦定理的应用-2019年高三数学（理）二轮必刷题（解析版）

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1、专题21正弦定理和余弦定理的应用1．某亲子公园拟建议广告牌，将边长为米的正方形ABCD和边长为1米的正方形AEFG在A点处焊接，AM、AN、GM、DN均用加强钢管支撑，其中支撑钢管GM、DN垂直于地面于M点和N点，且GM、DN、MN长度相等不计焊接点大小若时，求焊接点A离地面距离；若记，求加强钢管AN最长为多少？【答案】（1）米；（2）加强钢管AN最长为3米．2．西北某省会城市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形，其中三角形区域为球类活动场所；四边形为文艺活动场所，，为运动小道（不考虑宽度），，千米.（1）求小道的长度；（2

2、）求球类活动场所的面积最大值.【答案】（1）（2）【解析】如解图所示，连接，，，3．某校在圆心角为直角，半径为的扇形区域内进行野外生存训练.如图所示，在相距的，两个位置分别为300,100名学生，在道路上设置集合地点，要求所有学生沿最短路径到点集合，记所有学生进行的总路程为.（1）设，写出关于的函数表达式；（2）当最小时，集合地点离点多远？【答案】（1），（2）集合地点离出发点的距离为时，总路程最短，其最短总路程为.【解析】（1）因为在中，，，所以由正弦定理可知，解得，，且，故，4．在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的

3、仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.(1)求BC的长；(2)若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01米，其中)．【答案】（1）；（2）.【解析】(1)由题意可知，，，，在中，根据正弦定理可得5．某海警基地码头的正西方向海里处有海礁界碑，过点且与成角(即北偏东)的直线为此处的一段领海与公海的分界线(如图所示)。在码头的正西方向且距离点海里的领海海面处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从处即刻出发。若巡逻艇以可疑船的航速的倍前去拦截，假定巡

4、逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在点处截获可疑船。(1)若可疑船的航速为海里小时，，且可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间。(2)若要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船，求的最小值。【答案】（1）小时；（2）。【解析】(1)因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的2倍，可疑船的航速为海里/小时，所以巡逻艇的航速为海里/小时，且，设，则，又可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑，所以，故要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船，则。6．某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地

5、区域近似为圆面，该圆的内接四边形区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界，，.[来源:学_科_网]（1）求的长及原棚户区建筑用地的面积；（2）因地理条件限制，边界，不能变更，而边界，可以调整，为了增加棚户区的建筑用地面积，请在弧上设计一点，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形）的面积最大，并求出这个面积最大值.【答案】（1）；（2）为线段垂直平分线与弧交点时，面积最大，最大值为.7．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC＝15°)方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P

6、的仰角60°，若山高为2千米．[来源:学&科&网Z&X&X&K](1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？【答案】（1）船的航行速度是每小时6(＋1)千米．（2）山顶位于D处南偏东135°.8．随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．(1)按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据图1

7、所示数据计算限定高度CD的值；(精确到0.1m)(下列数据仅供参考：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，tan20°≈0.3640)(2)在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，设∠PAB＝θ(rad)，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形，它的宽为1.8米，长为4.5米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？【答案】（1）2.8m；（2）能顺利通过此直角拐弯车道．9．如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径为，是圆心，且.在上有一座观赏亭，其中.计划在上再建一座观赏亭，记.（1）当时，求的大小

8、；（2）当越大，游客在观赏亭处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭处的观赏效果最佳时，角的正弦值.【答案】（1）；（2）【解析】当时，单调增，当时，单调减，所以当时，最大