高中数学32均值不等式例题与探究素材新人教b版必修5

《高中数学32均值不等式例题与探究素材新人教b版必修5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、3.2均值不等式典题精讲beacah例1己知a、b、c是正实数，求证：—+—+—^a+b+c.abc思路分析：由于要证的不等式两边都是三项,而我们掌握的均值不等式只有两项，所以可以考虑多次使用均值不等式.证明：・・・罕b、c是正实数，/.—+—>2.1—•—-2c（当且仅当—,即沪b时，取等号），ahahab—+—>2.^^=2a（当且仅当—,即b二c时，取等号），bebcbcabbe、小abbe亠八abun.「仆口、——+—>2J——•一=2b（当且仅当一=—,即a二c吋，取等号）•cayeaac上面3个不等式相加，得hrCI

2、OClh2>—+2>—+2•—>2a+2b+2c（当且仅当沪b二c时，取等号）.abcbeacab、..112a+b+c.abc绿色通道：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，直接推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，其逻辑关系是A=>B]=>B2=>B3=>（条件）逐步探求不等式成立的必要条件〉（结论）其思路是“由因导果”，即从“已知”，推向已知的“性质”，从而逐步推向“未知”•变式训练已知a,b,c都是正实数，且a+b+c=l.求证：+2+』3b+2+J3c+2S3V3.思路分析：本题可看成求左边式子的最大值，

3、把左边配成积的形式，同时对等号成立的条件进行估计.证明：J（3a+2）•3<®+；）*3,同理，gb+2）・3<（珀2）+32启（3c+2）+37（3c+2）>3<-——寸—,三个不等式相加，得7（36/+2）•3+』（3b+2）•3+J（3b+2）•3W3（°+"+c）+&+9.2整理，得J3a+2+加+2+J3c+2W3盯（当且仅当a=b=c=-时,等号成立）.3例2x<-时，求函数y二x+二一的最大值.22x-3Q思路分析：本题是求两个式子和的最大值，但是X•并不是定值,也不能保证是正值,2x-31Q3所以，必须使用一些技巧进

4、行变形.可以变为y二一（2x-3）++—，再求最值.22兀-32妙_1小八83_z3-2%8、3解：y二一（2x_3）++_二_（1）+—,22兀-3223-2尢23•••当xV-时,3-2x>0,2nJ宁廿当且仅当写亠总'即宀时'取等355于是yj厂丁故函数有最大值-丁绿色通道：本题的关键是根据分母,对整式变形，从而凑出定值，同时要兼顾到正数的前提,当然本题也可作一个代换，如令3-2x=t,则t>0,把y转化为关于t的函数，再求最值就显得简洁明了.变式训练1己知x>0,y>0且5x+7y=20,求xy的最大值.思路分析：要注意均值

5、不等式的正用和逆用，利用均值不等式求最值需三个条件：①正；②定；③相等.解:xy=——35・5x・7yW—355x+ly""2)220T当且仅当5x=7y,即x=2,y二巴时取等号.7205的最大值为丁.变式训练2若正数a,b满足处二a+b+3,则ab的取值范围是.思路分析：本题的条件中同时存在和与积的形式，而所求的为积的范围，所以保留积的式子,把积放在不等式中去考察，方法是均值不等式放缩•或者利用函数法来解决.方法一：由ab二a+b+3N2y[ab+3（等号成立条件为&二b）,整理，得甜-2丿^-320,（J亦-3）(V^+1)>

6、0.A4ab>3,・・・abM9.方法二：由ab二a+b+3,可得b二°十'(a>0,b>0),.*.a>l,又ab=a•。十彳=[(a-1)a-a-「a+3a+3a—1+44l~—4~+1]=(a+3)+二&T+4+=(。一1)H5>2、(a一1)5=9,a-a-1a-1a-V。一14等号成立条件为a-1二——，即&二3・a-答案：[9,+8)cinr9例3求y二曲匕+(0

7、巧，使问题转化为符合基本不等式的模型，对于等号取不到的情形，常要讨论函数的单调性，再作岀判断•本题的关键是等号取不到时，通过代换，转化为研究新的函数的单调性，再求得原来函数的最值.解：VO

8、0