高中数学34不等式的实际应用例题与探究素材新人教b版必修5

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1、3.4不等式的实际应用典题精讲例1某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-1所示)，Ftl于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，屮间两道隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计,并求出最低造价.思路分析：在利用均值不等式求最值时，必须考虑等号成立的条件，若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解：设污水处理池的长为x米，则宽为型米(0

2、+2・)+248・2・2^+80X200XX324=800(x+——)+16000x324M800・2｛兀•——+16000=44800.324当且仅当x二(x>0),即x=18时等号成立，而18纟［12.5,16］,x・・・Q(x)>44800.下面研究Q(x)在［12.5,16］上的单调性.对任意12.5WxiVX2WI6,则X2_xi>0,xi•X2<162<324.z、「/、z11、1-324)Q(X2)—Q(xi)二800［(x2-X1)+324()］二800・--——11<0.x2x}x2・・・Q(X2)

3、・Q(x)在［12.5,16］上是减函数.・・・Q(x)>Q(16)=45000.答：当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低造价为45000元.绿色通道：解答应用题四步法：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价.在解决函数、不等式综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤英是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的己知条件，尤其要挖掘题

4、目中的隐含条件.黑色陷阱：如果忽视函数的定义域，就会导致运用均值不等式求最值时，不判断等号能否成立的条件，从而得到最低总造价为44800元.变式训练甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度V(km/h)的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解法一：(1)依题意，知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时

5、间为？，全程运输成本为VS,2S/dIy=a•—+bv〜•一二s(—+bv)・vvv・••所求函数及其定义域为y=s(-+bv),ve(0,c]•V(2)依题意知，s、a.b、v均为正数，s(—+bv)22s^l~ah.v①当且仅当-=bv,即v=J-时，①式中等号成立.vVb若j彳WC,则当V=J~时，有Yrnin：若J->0,则当Ve(0,c]时,有s(-+bv)-s(-+bc)Vbvc=s[(―-一)+(bv-be)]=——(c-v)(a-bev).VCVCVc-v^O,且a>bc2,/.a-bcv>a~bc2>0..s(—

6、+bv)>s(—+bc),当且仅当v二c时等号成立，也即当v二c时，有畑VC综上可知，为使全程运输成本y最小,当姮We时，行驶速度应为v二姮；当姮〉cbbb时,行驶速度应为V=C.解法二：(1)同解法一.⑵T函数y=x+—(k>0),xe(0,+8),当xe(0,4k)时y单调减小，当xW(JT,+°°)时ya单调增加，当X二JT时y収得最小值，而全程运输成本函数为y=sb(v+-^),vG(O,c].V・••当J牛We时，则当v二时，y最小，若>c时，则当v=c时，y最小.结论同上.例2某地区上年度电价为0.8元/kW・h,年用电量

7、为akW・h.本年度计划将电价降到0.55元/kW・h至0.75元/kW・h之间，而用户期望电价为0.4元/kW・h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/kW・h・(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?(注：收益二实际用电量X(实际电价-成本价)〕思路分析：(1)关键是弄清“新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比”，并用式子表示出來.(

8、2)在(1)的基础上解不等式.k解：(1)设下调后的电价为x元/kW・h,依题意，知用电量增至+a,电力部门的x—0.4k收益y二(+a)(x-0.3)(0.55WxW0.75).x—0.40.2avx-0.4(2)依题