高中数学 3.4　不等式的实际应用学案 新人教b版必修5

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1、3.4　不等式的实际应用1．解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数，再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)，然后解列出的不等式(组)，最后结合问题的实际意义写出答案．2．在实际应用问题中，若应用均值不等式求最值同样必须确保“一正、二定、三相等”的原则．“一正”即必须满足“各项为正数”；“二定”即求和的最小值必须拼凑成其积为“定值”，求积的最大值必须使其和为“定值”；“三相等”就是必须验证等号是否成立．3．对于形如y＝x＋(k>0)的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑利用函数的单

2、调性进行求解．(1)当x>0时，f(x)＝x＋≥2(k>0)，当x＝时取“＝”．另外，我们还可以证明f(x)在区间(0，]上为减函数，在区间[，＋∞)上为增函数，据此单调性来求函数的值域．(2)当x<0时，∵f(x)＝x＋(k>0)(x≠0)为奇函数．∴f(x)在(－∞，－]上为增函数，在[－，0)上为减函数．一、构建一元二次不等式模型解决实际问题方法链接：二次函数、一元二次不等式在实际生活中有着广泛的应用，构建一元二次不等式模型时应注意自变量的实际含义．例1　一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创

3、造的价值y(元)之间有如下的关系：y＝－2x2＋220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解　设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，得－2x2＋220x>6000.移项整理，得x2－110x＋3000<0，解得50

4、时一定要注意“一正、二定、三相等”的要领．例2　如图，某农厂要修建3个矩形养鱼塘，每个面积为10000m2，鱼塘前面要留4m宽的运料通道，其余各边为2m宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少时占地面积最少？解　设每个鱼塘的宽为xm，则x>0，且AB＝3x＋8，AD＝＋6，总面积y＝AB·AD＝(3x＋8)＝30048＋＋18x≥30048＋2＝32448，当且仅当18x＝，即x＝时，等号成立，此时＝150.答　鱼塘的长为150m，宽为m时，占地面积最少．三、利用函数单调性求最值问题方法链接：对于形如y＝x＋的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条

5、件不存在，那么这时就可以考虑用函数的单调性进行求解．例3　某工厂有旧墙一面，长14米，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126平方米的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a元；②修1米旧墙的费用为元；③拆去1米旧墙，用所得材料建1米新墙的费用为元．经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14；问如何利用旧墙，即x为多少米时，建造费用最省？(1)、(2)两种方案哪个更好？分析　以建造总费用为目标函数，通过函数求最小值来解本题．解　设利用旧墙的一面矩形边长为x米，

6、则矩形的另一面边长为米．(1)利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形一面边长，则修旧墙费用为x·元．将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x)·元，其余建新墙的费用为a元．故总费用为y＝x·＋·a＋a＝a＝7a(0196.从而1－>0，所以函数y

7、在[14，＋∞)上为增函数．故当x＝14时，ymin＝a＋2a＝35.5a>35a.综上所述，采用第(1)种方案，利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a元．四、函数、数列、不等式在实际问题中的综合应用方法链接：不等式的知识，尤其是解不等式、均值不等式求最值常常融于函数、数列应用题中加以考查．一般是先建立函数模型或数列模型，再利用不等式的知识求某些量的范围或最值．例4　2009年推出一种新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.7万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从

8、第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元．(1)设该辆轿车使用n年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费)为f(n)，求f(n)