资源描述：
《高中数学32均值不等式例题与探究素材新人教B版5!》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、3.2均值不等式典题精讲例1已知a、b、c是正实数，求证：≥a+b+c.思路分析：由于要证的不等式两边都是三项,而我们掌握的均值不等式只有两项,所以可以考虑多次使用均值不等式.证明：∵a、b、c是正实数，∴=2c（当且仅当，即a=b时，取等号），（当且仅当，即b=c时，取等号），=2b（当且仅当，即a=c时，取等号）.上面3个不等式相加,得≥2a+2b+2c（当且仅当a=b=c时，取等号）.∴≥a+b+c.绿色通道：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，直接推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，其逻辑关系是AB1B2B3…Bn-1Bn
2、B.（条件）（结论）其思路是“由因导果”，即从“已知”，推向已知的“性质”，从而逐步推向“未知”.变式训练已知a,b,c都是正实数，且a+b+c=1.求证：.思路分析：本题可看成求左边式子的最大值，把左边配成积的形式，同时对等号成立的条件进行估计.证明:,同理,,,三个不等式相加，得≤.整理，得（当且仅当a=b=c=时,等号成立）.5例2x＜时，求函数y=x+的最大值.思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧进行变形.可以变为y=（2x-3）++,再求最值.解：y=（2x-3）++=-（）+，∵
3、当x＜时，3-2x＞0，∴=4，当且仅当，即x=-时,取等号.于是y≤-4+=，故函数有最大值.绿色通道：本题的关键是根据分母,对整式变形，从而凑出定值，同时要兼顾到正数的前提，当然本题也可作一个代换，如令3-2x=t，则t＞0，把y转化为关于t的函数，再求最值就显得简洁明了.变式训练1已知x＞0，y＞0且5x+7y=20，求xy的最大值.思路分析：要注意均值不等式的正用和逆用，利用均值不等式求最值需三个条件：①正；②定；③相等.解：xy=·5x·7y≤.当且仅当5x=7y，即x=2，y=时取等号.∴xy的最大值为.变式训练2若正数a，b满足ab=a+
4、b+3，则ab的取值范围是_____________.思路分析：本题的条件中同时存在和与积的形式,而所求的为积的范围，所以保留积的式子，把积放在不等式中去考察，方法是均值不等式放缩.或者利用函数法来解决.方法一：由ab=a+b+3≥+3（等号成立条件为a=b），整理,得ab--3≥0，（-3）（+1）≥0.∴≥3，∴ab≥9.方法二：由ab=a+b+3，可得b=（a＞0，b＞0），∴a＞1，又ab=a·=［（a-1）+1］=（a+3）+=a-1+4+,等号成立条件为a-1=，即a=3.答案：［9，+∞)5例3求y=（0＜x＜π）的最小值.思路分析：在运
5、用基本不等式求最值时，经常会出现不满足“正数、定值、等号”的情形，这就要求通过分类、换元、凑配等方法与技巧，使问题转化为符合基本不等式的模型，对于等号取不到的情形，常要讨论函数的单调性，再作出判断.本题的关键是等号取不到时，通过代换，转化为研究新的函数的单调性，再求得原来函数的最值.解：∵0＜x＜π，∴0＜sinx≤1.设t=，t∈（0，］，则sinx=2t，∴y=t+（0＜t≤）.可证明函数y=t+,当t∈（0，］时为减函数.∴当t=，即=，sinx=1，x=时，y有最小值2+=.∴ymin=.黑色陷阱：本题易忽略等号成立的条件,而得出错误的解法和答
6、案:∵0＜x＜π，∴0＜sinx≤1.∴y==2.∴ymin=2.变式训练已知函数f（x）=，x∈［1，+∞).（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈［1，+∞)，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围.思路分析：把均值不等式与函数结合，是求函数最值的有效途径，（1）中当等号不成立时，通过研究函数的单调性求最小值.（2）中恒成立问题可转化为函数的最值问题，注意合理转化.（1）解：当a=时，f（x）=，∵f（x）在区间［1，+∞）上为增函数，∴f（x）在区间［1，+∞）上的最小值为f（1）=.（2）解法一：在区间［1，+∞）上，f（
7、x）=＞0恒成立x2+2x+a＞0恒成立.设y=x2+2x+a，则y=x2+2x+a=（x+1）2+a-1在x∈［1，+∞）上递增，∴当x=1时，ymin=3+a.于是只需3+a＞0时，函数f（x）恒成立，故a＞-3.5解法二：f（x）=，x∈［1，+∞），当a≥0时，函数f（x）的值恒为正，当a＜0时，函数f（x）递增，故当x=1时，f（x）min=3+a，于是只需3+a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，故a＞-3.解法三：在区间［1，+∞)上,f（x）=＞0恒成立x2+2x+a＞0恒成立a＞-x2-2x恒成立.又∵x∈［1，+∞),∴a应大于u=-x
8、2-2x，x∈［1，+∞)的最大值,∴a＞-（x+1）2+1，x=1时u取得最大值-3，∴a＞
