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《高中数学34不等式的实际应用例题与探究素材新人教b版5!》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、3.4不等式的实际应用典题精讲例1某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图3-4-1所示），由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两道隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价.图3-4-1思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解：设污水处理池的长为x米，则宽为米（0＜x≤16，0＜
2、≤16），∴12.5≤x≤16.于是总造价Q（x）=400（2x+2·）+248·2·+80×200=800（x+）+16000≥800·+16000=44800.当且仅当x=（x＞0），即x=18时等号成立，而18［12.5，16］，∴Q（x）＞44800.下面研究Q（x）在［12.5，16］上的单调性.对任意12.5≤x1＜x2≤16，则x2-x1＞0，x1·x2＜162＜324.Q（x2）-Q（x1）=800［（x2-x1）+324（）］=800·＜0.∴Q（x2）＜Q（x1）.∴Q（x）在［12.5，1
3、6］上是减函数.∴Q（x）≥Q（16）=45000.答：当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低造价为45000元.绿色通道：解答应用题四步法：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价.在解决函数、不等式综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的
4、隐含条件.黑色陷阱：如果忽视函数的定义域，就会导致运用均值不等式求最值时，不判断等号能否成立的条件,从而得到最低总造价为44800元.变式训练甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解法一：(1)依题意,知汽车从甲地匀
5、速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y=a·+bv2·=s(+bv).∴所求函数及其定义域为y=s(+bv),v∈(0,c］.(2)依题意知，s、a、b、v均为正数,∴s(+bv)≥.①当且仅当=bv,即v=时，①式中等号成立.若≤c,则当v=时，有ymin；若＞c,则当v∈(0,c］时，有s(+bv)-s(+bc)=s［(-)+(bv-bc)］=(c-v)(a-bcv).∵c-v≥0,且a＞bc2,∴a-bcv≥a-bc2＞0.∴s(+bv)≥s(+bc),当且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，有ymi
6、n.综上可知，为使全程运输成本y最小，当≤c时，行驶速度应为v=;当＞c时,行驶速度应为v=c.解法二：(1)同解法一.(2)∵函数y=x+(k＞0),x∈(0,+∞),当x∈(0,)时y单调减小，当x∈(,+∞)时y单调增加，当x=时y取得最小值，而全程运输成本函数为y=sb(v+),v∈(0,c］.∴当≤c时，则当v=时，y最小，若＞c时，则当v=c时，y最小.结论同上.例2某地区上年度电价为0.8元／kW·h，年用电量为akW·h.本年度计划将电价降到0.55元／kW·h至0.75元／kW·h之间，而用户
7、期望电价为0.4元／kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为ｋ）.该地区电力的成本价为0.3元／kW·h.（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；（2）设ｋ=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?〔注：收益=实际用电量×（实际电价-成本价）〕思路分析：（1）关键是弄清“新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比”，并用式子表示出来.（2）在(1)的基础上解不等式.解：（1）设下调后的电价为x元／k
8、W·h，依题意,知用电量增至+a，电力部门的收益y=（+a）（x-0.3）（0.55≤x≤0.75）.（2）依题意,有整理得解此不等式,得0.60≤x≤0.75.所以当电价最低定为0.60元／kW·h时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.变式训练1有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每
