高中数学第三章不等式32均值不等式自主训练新人教b版必修5

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1、3.2均值不等式自主广场我夯基我达标1.x、y同号，当兰+丄取最小值时，一定有()y兀A.x=y=lB.x二y二-1C.x=y或x二-yD.x=y思路解析：因为X、y同号，所以兰与丄都是正数，取最值吋-=^-,再由X、y同号，知x=y.y兀y兀答案：D2.下列函数中，最小值为4的是()4兀2+5A.f(x)=x+—B・f(x)=2X兀Vx2+4C.f(x)=3x+4X3xD.f(x)=lgx+lo&10思路解析：逐个排除.其中A,D选项不能保证两项为正，排除；而B选项不能取得等r2+5兀$+4+11号，f(x)=2X；^2xi=2(Vx2+4+^^^)24,要取等号，

2、必须3+4Vx2+4J/+4Vx2+4二/,即x2H=1,这是不可能的.厶$+4答案：C143•设x,y为正数，则(x+y)(―+—)的最小值为()兀yD.15A.6B.9C.12I4v4x思路解析：X,y为正数，(x+y)(—+—)21+4+丄+——29,选B.xyxy答案:B1YJ+X+［4•在区间［―，2］上，函数f(x)二x'+bx+c(b、ceR)与g(x)二在同一点取2x得相同的最小值，那么在区间2］上的最大值是()135A.——4B.4C.8D.—4思路解析：g(X)兀°++11=-x++123,当x-l时取等号，即当x-1时取最小值3,所以f(x)的对称

3、轴是x=l.所以b二-2.再把(1,3)代入即得c二4.所以f(x)*-2x+4,易得在［丄,22］上的最大值是f(2)二4-4+4二4.答案：B5.(1)函数f(x)=x+—!—(x>5)的最小值为・x-5(2)函数y二Jx(10_x)(05,所以x-5>0,f(x)=x-5+——+5M2(x-5)・一-—+5=7,当x-5x-5x-5=—-—,即x=6时取最值；⑵Jx(lO-x)=Vx•VlO-x<"+~-=5,当x二10-x,即x-52x二5时取最值；(3

4、)首先根据条件凑出定值，把xy进行变化:xy二丄(2x)(3y)W丄x(2兀+3))2二6.662答案：(1)7(2)5(3)66.已知8、bsc为不全相等的正数，求证：lg°+"+lgb+"+］gc+a>lga+lgb+lgc.222思路分析：根据对数的性质，首先把对数符号去掉，得凹•出•UHxbc,然后，再利222用均值不等式及其变形进行证明，由于式子比较复杂可以采用分析法书写证明过程.证明：要证原不等式成立，只需证lg(上也•上i•匸匕)>lgabc.222又Vy=lgx是增函数，・・・只需证凹•出•土〉abc.222又已知址b、C为不全相等的正数，所以由基本不等

5、式凹皿，出皿，土皿222.a+bb+cc+a、.片亠..••>abc成山222•••原不等式成立•知上述三个不等式不能同时取到等号,7.已知a、b、cWR,且a+b+c二1,求证：(丄T)(―-1)(—-1)28.abc思路分析：首先根据条件a+b+c二1,把其中分子上的1全部换成a+b+c之后,每个括号中的项分别使用均值不等式，然后相乘即可.证明：•.•丄一1=__—=b+c9又Va>0,b>0,c>0,即丄十还.a同理,可得丄-in巫丄-in巫.bbcc由于上面三个不等式的右边都是正数，相乘即得（丄-1）（--1）（--1）>8.abc&如图3-2-1所示,平面直角

6、坐标系中，在y轴正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B,试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求一点C,使ZACB取得最大值.思路分析：本题是一个含有识图以及与三角函数有关的综合题，首先根据图形建立ZACB某一三角函数的一个解析式，根据解析式和均值不等式求最值即可.解：设点A坐标为（0,a）,点B坐标为（0,b）,00）,71ZACB二a,Z0CB=3,则ZOCA二a+B（0

7、十飞无十—2Jx>%xTx当且仅当x=—,即x=^/7ih（x>0）时等号成立.因此当x二J亦时，tana取得最大值,%ZACB取得最大值.我综合我发展9.已知不等式（x+y）（丄+-）^9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为（）A.2B.4C.6D.8y恒成立，则思路解析：不等式（x+y）（丄+纟）彳9对任意正实数兀yl+a+—HNa++129,22或W-4（舍去）.所以正实数a的最小值为4.*y答案：B10.若a,b,c>0且a（a+b+c）+bc=4-2V3,则2a+b+c的最小值为（）A.V3—1B.V34-1C.2V3