高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式同步训练 新人教b版必修5

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1、3.2均值不等式5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.对于任意实数a、b，下列不等式一定成立的是()A.a+b≥B.≥C.a2+b2≥2abD.≥2解析：均值不等式要考虑正负情况，这里如果a、b不能保证是正值A、B、D都不一定成立，只有C对任意实数恒成立．也可以采用特殊值代入检验进行排除．答案：C2.已知点P(x,y)在直线x+3y-2=0上，那么代数式3x+27y的最小值是_____________.解析：根据条件可知x+3y=2,而3x+27y=3x+33y≥=6,当且仅当3x=33y时取等号.答案：63.函数f（x）=x++3在（-∞，-2］上()A

2、.无最大值，有最小值7B.无最大值，有最小值-1C.有最大值7，有最小值-1D.有最大值-1，无最小值解析：∵x≤-2，∴f（x）=x++3=-［（-x）+（）］+3≤+3=-1，当且仅当-x=，即x=-2时取等号.∴f（x）有最大值-1，无最小值，故选D.此外，该题也可利用函数f（x）=x++3在（-∞，-2］上的单调性求解.答案：D4.若x＞3,那么当x=_____________时,y=取最小值_____________.解析：y=x+=x-3++3≥+3=5,当且仅当x-3=即x=4时,y取最小值5.答案：4510分钟训练(强化类训练，可用于课中)1

3、.已知a、b∈R，且a2+b2=4，那么ab()A.最大值为2，最小值为-2B.最大值为2，但无最小值C.最小值为2，但无最大值D.最大值为2，最小值为0解析：这里没有限制a、b的正负,则由a2+b2≥2

4、ab

5、即

6、ab

7、≤2,所以,-2≤ab≤2,可知最大值为2，最小值为-2.答案：A2.设f（x）=（）x，a、b∈R+，A=f（），G=f（），H=f（），K=f（），则A、G、H、K的大小关系是()A.H≤G≤A≤KB.A≤K≤H≤GC.A≤K≤G≤HD.K≤A≤G≤H解析：首先由已知条件可知f（x）在定义域内是单调递减函数,然后只需取特殊值a=1,b=

8、2代入判断的大小即可.答案：D3.已知x=（a＞2），y=（b＜0），则x、y之间的大小关系是()A.x＞yB.x＜yC.x=yD.不能确定解析：x=（a-2）++2≥+2=4（当且仅当a=3时，取“=”），y==4.∴x＞y.答案：A4.三个同学对问题“关于x的不等式x2+25＋

9、x3-5x2

10、≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值.”丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象.”参考上述解题思路，

11、你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是______________.解析：由x2+25+

12、x3-5x2

13、≥ax,1≤x≤12a≤x++

14、x2-5x

15、，而x+≤=10，等号当且仅当x=5∈［1,12］时成立；且

16、x2-5x

17、≥0，等号当且仅当x=5∈［1，12］时成立；所以，a≤［x++

18、x2-5x

19、］min=10，等号当且仅当x=5∈［1,12］时成立；故a∈(-∞,10］.答案：a∈(-∞,10］5.已知x、y∈R+，且=1，求x+y的最小值.解:∵x＞0，y＞0，=1，∴x+y=（）（x+y）=+10=6+10=16，当且仅当，又=1即时等号

20、成立.6.已知a＞0,b＞0,且a+2b=10,求y=的最大值.解法一:由于a＞0,b＞0,且a+2b=10,则有y=≤.当且仅当a+2=2b+3=时,即a=,b=时,等号成立.所以y=的最大值为.解法二:由于a＞0,b＞0,且a+2b=10,则有y2=(a+2)+(2b+3)+≤15+［(a+2)+(2b+3)］=30.当且仅当a+2=2b+3=时,即a=,b=时,等号成立.又y＞0,所以,y≤.所以y=的最大值为.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列求最值过程中正确的是()A.若0＜x＜π，则y=sinx+.所以y的最小值是2B.若0＜x＜π

21、，则y=sinx+.所以y的最小值是C.若x＞0，则y=2+x+≥2+=6.所以y的最小值是6D.若0＜x＜1，则y=x（4-x）≤［］2=4.所以y的最大值为4解析：A、B、D中等号都取不到.A中需满足sinx=，即sinx=（0，1］；B中由得sinx=（0，1］；D中由x=4-x得x=2（0，1）.答案：C2.函数y=(x＞-1)的图象的最低点的坐标是()A.（1，2）B.（1，-2）C.（1，1）D.（0，2）解析：求图象的最低点的坐标，即求函数取最小值时的x,y的值.∵x＞-1,∴x+1＞0则y==(x+1)+≥=2∴当且仅当x+1=，即x=0或x

22、=-2(舍去)时等式成立.当x=0时，y=2.即当x