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《高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式自主训练 新人教b版必修5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2均值不等式自主广场我夯基我达标1.x、y同号，当取最小值时，一定有()A.x=y=1B.x=y=-1C.x=y或x=-yD.x=y思路解析：因为x、y同号，所以与都是正数,取最值时=,再由x、y同号,知x=y.答案：D2.下列函数中，最小值为4的是()A.f（x）=x+B.f（x）=2×C.f（x）=3x+4×3-xD.f（x）=lgx+logx10思路解析：逐个排除.其中A,D选项不能保证两项为正,排除;而B选项不能取得等号,f(x)=2×≥4,要取等号,必须,即x2+4=1,这是不可能的.答案：C3.设x,y为正数,则(x+y)(+)的最小值为()A.6B.9C.12
2、D.15思路解析：x，y为正数，(x+y)(+)≥1+4++≥9，选B.答案:B4.在区间［，2］上，函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R）与g（x）=在同一点取得相同的最小值，那么f（x）在区间［，2］上的最大值是()A.B.4C.8D.思路解析：g（x）==x++1≥3,当x=1时取等号,即当x=1时取最小值3,所以f（x）的对称轴是x=1.所以b=-2.再把(1,3)代入即得c=4.所以f(x)=x2-2x+4,易得在［，2］上的最大值是f(2)=4-4+4=4.答案：B5.(1)函数f（x）=x+（x＞5）的最小值为____________.(2)函数y=（0＜x＜
3、10）的最大值为_____________.(3)已知2x+3y=12，且x、y均为正数，那么xy的最大值为____________.思路解析：(1)由于x＞5,所以x-5＞0,f(x)=x-5++5≥2(x-5)·+5=7,当x-5=,即x=6时取最值;(2)=5,当x=10-x,即x=5时取最值;(3)首先根据条件凑出定值,把xy进行变化:xy=(2x)(3y)≤=6.答案：(1)7(2)5(3)66.已知a、b、c为不全相等的正数，求证：lg+lg＞lga+lgb+lgc.思路分析：根据对数的性质,首先把对数符号去掉,得＞abc,然后,再利用均值不等式及其变形进行证明,由
4、于式子比较复杂可以采用分析法书写证明过程.证明：要证原不等式成立，只需证lg（）＞lgabc.又∵y=lgx是增函数，∴只需证＞abc.又已知a、b、c为不全相等的正数，所以由基本不等式，知上述三个不等式不能同时取到等号，∴＞abc成立.∴原不等式成立.7.已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求证：（-1）（-1）（-1）≥8.思路分析：首先根据条件a+b+c=1，把其中分子上的1全部换成a+b+c之后,每个括号中的项分别使用均值不等式,然后相乘即可.证明：∵，又∵a＞0，b＞0，c＞0，∴，即.同理,可得.由于上面三个不等式的右边都是正数，相乘即得（-1）（-1）（-1）≥
5、8.8.如图3-2-1所示,平面直角坐标系中，在y轴正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B，试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求一点C，使∠ACB取得最大值.图3-2-1思路分析：本题是一个含有识图以及与三角函数有关的综合题,首先根据图形建立∠ACB某一三角函数的一个解析式,根据解析式和均值不等式求最值即可.解：设点A坐标为（0，a），点B坐标为（0，b），0＜b＜a，点C坐标为（x，0）（x＞0），∠ACB=α，∠OCB=β，则∠OCA=α+β（0＜α＜），∴tanα=tan［（α+β）-β］=.当且仅当x=，即x=（x＞0）时等号成立.因此当x=时，tanα取得最大值，∠A
6、CB取得最大值.我综合我发展9.已知不等式(x+y)()≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8思路解析：不等式(x+y)()≥9对任意正实数x，y恒成立，则1+a+≥a++1≥9，∴≥2或≤-4(舍去).所以正实数a的最小值为4.答案：B10.若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=,则2a+b+c的最小值为()A.B.C.D.思路解析：若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=,所以a2+ab+ac+bc=，=a2+ab+ac+bc=(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)≤(4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2).所以()2
7、≤(2a+b+c)2，则(2a+b+c)≥.答案：D11.设tanx=3tany(0≤y＜x＜),则u=x-y的最大值是()A.B.C.D.思路解析：这是一个和三角函数有关的最值问题,首先要根据三角函数和与差的公式,写出x-y的一个函数关系式:tan(x-y)=≤,而0≤y＜x＜,所以0＜x-y＜.所以0＜tan(x-y)≤.所以x-y的最大值为.答案:A12.均值不等式≥（a，b都是正实数，当且仅当a=b时等号成立）可以推广到n个正实数的情况，即对于n个正实数a1，a2，a3，…,an有(
