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1、设n=（九”z）,丄平而BEF,空间向量与立体几何综合大题答案1.如图，已知山仞中，ZBCD=90°,AB丄平面BCD,BC=2,CD二乜,AB二乜,E是AC的中点.(I)若F是的中点，求证：平面BEF丄平面ABC；(II)若AF=2FD,求平面BEF与平面BCD所成的锐二面角的大小.(I)证明：・・・AB丄平面BCD,:.AB丄CD。又•・・CD丄BC,:.CD丄平面ABC.•・・E、F分别是AC、AD的中点,:.EFHCD.・•・EF丄平面ABC,•・•EFu平面BEF,・•・平面BEF丄平面ABCo(I【)解法1：如图建立空间直角坐标系
2、C-xyz则B(2,0,0),D(0,a/3,0),A(2,0,^3)II=1,・・・EQ,青,••等二2,・・・F《,
3、巧，¥）・••BE=（_l,0,£）,丽二（一扌，羊,£）,-X+—Z=Qr-2,取齐（£_丄,1）4亠2羽亠羽（、22——兀y+——z=0333•••平面BCQ的法向量是m=(0,0,l),:.cos=—所以，平面BEF与平面BCD所成的锐二面角为45。。2(1)求证：AP〃平面EFG;(2)求平面GEF和平面DEF的夹角.解：(1)如图，以D为原点，以万入反,丽为方向向量建立空间直角坐标系D-xyz,则P(0
4、,0,2),C(0,2,0),G(l,2,0),£(0,1,1),F(0,0,l),A⑵0,0).・・・AP=(-2,0,2),EF=(0-1,0),EG=(1,1-1).设平而EFG的法向量为n=(x,y,z)lnEF=0,即]_y=0,.・」兀=乙令无=][n•EG=0,[兀+y一z=0.[y=0.则n=(1,0,1).=1x(-2)+0x0+1x2=0,.-./?丄力P.又P(Z平面EFG,・・・APII平面EFG.(2)・・•底面ABCD是正方形，・・・AD丄DC,又•••PD丄平面ABCD・・・AD丄PD又PDHCD=Df・•・A
5、D丄平面PCD・•・向量丽是平面PCD的一个法向量，DA=(2,0,0)又由(1)知平面EFG的法向量•••c°s＜丽，心孕4宀至DA^2V22•••二面角G-EF-D的平面角为45°3.己知四棱锥P-ABCD，其屮底面ABCD为矩形侧棱PA丄底面ABCD,其屮BC=2,AB二2PA=6,1,N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示:(1)求证：AN〃平面MBD；(2)求二面角B-PC-A的余弦值.(1)证明：连结AC交BD于0,连结0M,•・・底面ABCD为矩形，・・・0为AC中点，・・・M、N为侧棱PC的三等份点，二CM二CM,
6、.-.0M//AN,TOMu平Ifi]MBD,AN(z平面HBD,・・.AM//平面MBD4分.(2)易知AABP为等腰直角三角形，所以BP为外接圆的直径，所以PB=3V2,PA=3如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,6,0),D(0,6,0),P(0,0,3),M(2,4,1),N(l,2,2),设平面BCP的法向量为万=(兀,y,z),•・•丽=(-3,O,3),BC=(O,6,O),并且加丄丽，加丄蔬,一3兀+3z=O6y=0平而MBD的一个法向量为加二(1,0,1),设平面
7、PAC法向量为77=(Xp^pZ1),m・ncos==~—1血11川2_VioV2>/5-510分由图可知,二面角B-PC-A为锐角,•••二面角—的余弦值为字4.如图，在直三棱柱ABC-BXC{屮，AD丄平面A}BC,其垂足D落在直线A0上.(1)求证：BC丄人3(2)若AD=[^,AB=BC=2,P为AC的中点,求二面角P-A.B-C的平面角的余眩值(1)证明：・・•三棱柱ABC-A.B,G为直三棱柱，B•••人4丄平又BCu平面ABC,/.A,A丄BC-・・・AD丄平面A/C,且BCu平面£BC,・・•AD丄BC.又u平
8、面A.AB,ADc平面AB,AlAr>AD=Af・•・BC丄平面A/B,又A,Bc平面£3C,・•・3C丄£3(2)由(1)知BC丄平面A/B,ABu平面AB，从而BC丄AB如图，以B为原点建立空I'可直角坐标系B-xyzvAD丄平面ABC,其垂足D落在直线上，・•・AD丄A".在RtZMBD屮,AD=£,AB二2,血如"詈晋8込60。在直三棱柱4BC-A/C中，A/丄AB.在R/ZAABA小，A4,=AB-tan60°=2^3>则B(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),P(1,1,0),£(0,2,2^3),丽=(1,1,
9、0)~B=(0,2,2a/3)BC=(2,0,0)设平ififPA}B的一个法向量n}=(x,y,z)[恳•丽=0fx+j=O则J_即r[n,-B=0[2y+2
