薄板受迫振动问题的trefftz有限元法

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1、天津大学硕十学能论文第一章绪沦由于I：述种种优点，到目前为止，Trefftz有限元法已经得到较多学者的关注，并取得了··定的成果。然而，目前对薄板强迫振动问题的研究还很不足。鉴于此，本文从Trefftz有限元基本理论出发，结合无条件稳定的平均加速度法，建立薄板强迫振动问题的Trefftz有限元模型，分析了薄板受迫振动问题。1．2Tremz有限元的发展现状Trefftz方法是g了Trefftz【8】于1926年首先提出的，TrefPtz将这一方法应用于解决Laplace方程I均Dirichletth7题。其后，Tfef拖法由Biman【9-l¨，Rafarson【12，131等人的研究中得到了

2、推广。然而直到20世纪70年代才逐渐引起了学术界的重视。在经典的Trefftz法中，Trefftz函数中的待定系数通过边界条件的某种加权残数方式确定，属于间接法【14】。1989年，Cheung，Jin,Zienkiewicz等人【15】提出TTrefftz直接法。该法是将T-完备解函数作为权函数，对控制方程的加权残余表达式应用两次格林公式构造出边界积分方程，以节点物理量为未知数直接求解边界节点的物理量值。Steintl61、Ruo一171、Zienkiewicz[181等人通过有限元与边界型解法的联合使用，对Trefftz方法做了早期的数值研究。随着研究的深入，Trefftz法与有限元相结

3、合的数值方法逐渐发展起来。Trefftz有限元是在七十年代末才提出来的一种有限元模型【l91。作为计算力学中的一种数值方法，Hybrid-TrefftzOaT)有限元法己开始引起人们的重视并在工程中得到越来越广泛的应用。与传统有限元模型不同的是，Trefftz有限元模型利用辅助网线位移场或面力场，在一种杂交意义上将单元域内位移场关联起来。单元域内位移场精确满足控制微分方程，它可表达为微分方程的特解加上适当截断的Trefftz完备解系(或■完备解系)与待定参数乘积的形式。利用定义在每个单元边界上的独立的网线位移场，单元间的连续性就在一种近似意义上得到满足。在单元一级上消去内部待定参数后即可得到

4、标准的力．位移关系式(即单元刚度方程)。T-完备解系的数学理论主要是由He玎cra及其合作者完成的【20-231，并将其命名为C．完备解系。为纪念这种非奇异解的创立者Trefftz、Zienkiewicz[24]建议将其更名为T．完备解系。ZielinskiA．P．和ZienkiwiczO．C．125J将Trefftz完备函数引入有限元法，求解广义协调方程。Jirousek和Guex[261提出杂交Trefftz单元，建立了杂交Trefftz有限元法(HybridTrefftzFEM)。秦庆华[41的专著对于Trefftz有天津大学硕十学位沦文第一章绪论限元有详尽的阐述，可以说Trefftz

5、有限元已经被广泛地应用于平面弹性问题f27．281、薄板弯曲【29-301、中厚板【31】、厚板【321、Poisson方程[33,34]、热传导f35】、压电问题∞3s]、自由面渗流问题【39．删、几何非线性问题【41删、材料非线性问题【45-47]等各个力学领域。为了推动Trefft2方法在计算力学领域的发展和应用，自1996年起每四年定期召开围际性专题讨论会，目前已经成功地召开了四次。其中第一次于1996年在波兰的科拉科召开，同时纪念Trefftz发表论文“GegenstuckzumRitzschenVerfahren”70周年；为庆祝Jirousek教授潜心致力于Trefftz有限元

6、公式的推导及其软件SAFE的开发，1999年在葡萄牙的辛特拉召开第二次国际研讨会；紧接着第三次于2002年在英国埃塞特召开：第四次于2005年在斯洛伐克Zilina召开。Trefftz单元在平面弹性问题中的应用开始于Jirousek和Teodorescut481的工作。根据网线位移场是定义在整个单元边界上及单元交边界上，他们导得了平面弹性单元的两个变分公式。随后，Jirousek和Venkatesht49l从Muskhelishvili复变函数法出发，发展了p-型TretItz平面弹性单元。此外，还出现了许多其它形式的Trefftz平面弹性单元，如Kompis等人【501、Sladek等人【

7、51】以及秦庆华嗍的工作。1．3弹性薄板的动力响应分析由动载荷引起的结构振动称作受迫振动或动力响应分析。所谓求动力响应就是在初始条件下求解运动方程，确定各个时刻的状态矢量。进而利用应力和节点位移的关系，还可以得到物体内部各点的应力随时间的变化规律。对于动力响应的分析，可采用振型叠加法、直接积分法(或称逐步积分法)等方法【2】。其中，振型叠加法的基本思想是通过坐标变换，将一个多自由度体系的n个耦合运动方程，分解