薄板弯曲的变分原理及有限元素法.doc

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1、第三章薄板弯曲的变分原理及有限元素法3.1基本问题基本认识：板作为承力的结构元件，主要通过弯曲起作用。如果垂直于板面的挠度与板的厚度相比很小的话，则由弯曲而引起的板中面的拉伸作用就可以忽略不及，这是所谓的小挠度问题，一般认为以下。反之，越大，弯曲引起的中面拉伸的影响越来越大，就不能忽略不计，导致所谓大挠度问题。除板的弯曲变形之外，还伴随有剪切变形，剪切作用的影响一方面取决于材料的剪切模量，另一方面取决于厚度/跨度（）之比，即横向剪切随的增大而增大。通常把不考虑剪切作用（横向剪应变无穷大）的板理论叫做薄板理论，把考虑剪切作用的板理论叫做厚板理论。本章仅考虑小挠度薄板问题。基本假设：取板的

2、中面为平面，取轴与轴垂直，设板的厚度为，可以是的函数。①变形假设：变形前垂直于中面的直线段在变形后没有伸缩，并且继续垂直变形后的中面。由此得：②内力假设：板内应力的6个分量的大小不是同一量级，一般最大，约小一个量级，而又小一个量级；在静力学分析中，。控制方程（内力平衡方程及物理方程）①由弹性力学方法，对于均质材料构成的薄板，应力分量可用5个内力表示，即：（矩定义为单位宽度上的矩）Note：上述的弯距及剪力代表单位宽度上的，而不是整个板侧面的。①用内力表示的平衡方程：分布的横向载荷在薄板理论中，内力不产生应变，因而也不做功，可在以后的分析中不计算它们，在上式中消去即得：②几何关系：③物理

3、关系：（各向同性体）点应力应变关系：内力与应变关系：注意：①单位面积上的应变能及余应变能（密度）应变能密度（曲率作为自变量）变分：(单位长度上转角的变化)∴（这也是一种物理关系）代入关于内力矩的物理关系，有：注意：上式中都是关于曲率的二次项，而且从物理上对于任意的曲率U>0，故U称为正定的二次齐次函数。余应变能密度：（可看作是内力矩的函数）当板的变形由一种状态变到相邻的另一种状态时，V的变分为：在以前的研究中，我们把内力表示成变形的函数，从而构造和研究关于变形的泛函；在这里，我们把体系中的两类量都看成独立可变的，故有上式，（上式中由于V的表达式，变分的结果又可只认为只有内力矩变化）。这

4、是一种认识观点，对于后面理解广义变分原理有利的。当然，还应当注意这两类变量之间存在着物理关系的约束。由的表达式可知：（研究其中一项时，让其它两项的变分为0）代入内力矩关系，可知V是的正定二次齐次函数。②用挠度表示的平衡关系：把内力矩的物理关系及曲率的几何关系代入原平衡方程，即得：（双调和方程）坐标旋转引起的变换在研究板问题时，经常用到不同坐标系表示的包括法向导数等，因此在不同坐标系下，板弯曲的基本量之间有什么联系是我们经常要遇到的计算。取两个不同的坐标系，如右图①坐标变换关系：②函数的方向导数：对于一个函数由求导的链式规则：同理：①只要将F换成w即得曲率在不同坐标系下的转轴公式。②弯、

5、扭矩的转轴规律应注意到是单位宽度上的矩，推导时要依据平衡关系。由此得：剪力的转轴规律符合矢量投影规律，即：典型的边界条件（如右图）：板在平面上所占区域；：板的边界；：边界外法线；：边界切线方向；符合右手定则典型边界条件有三种：①固支边：如在上，，这里，为上已知的关于弧长的函数。②简支边：如在的部分边界上简支，则有：为上已知的关于弧长的函数。③自由边：在自由边上(指无位移限制)已知作用在边界上的力（即所谓的自然边界条件）。从内力和内力矩角度看，边界上能反映出来的有三个，但不能取：，，因从做功角度讲，和并不完全独立，分析如下：给自由边界上的挠度有一变分，则在上所作的功为：可见，相当于线分布

6、载荷以及作用在自由边两端的集中载荷。由于在自由边两端总是有支持的，所以在该两端上的对板变形不产生影响，所以分析时略去不计。∴由上分析，是与相应的广义力，故自由边的边界条件应为：在上，，（与点应力的力边界条件相似）是已知作用在上的线布载荷。若在自由边界的某一点上有一集中载荷p，那么有：p表示单位宽度上的力。若没有集中载荷，应是s的连续函数，的跳跃量相应于集中载荷。﹡自由边界上有尖角的情况：为点前面一段终点的法向量；为点后面一段起点的法向量。命两个法向量与轴的夹角为。在点前后的两个扭矩：由于要求连续，即由此得：当点尖角的两条边平行于轴，故得：3.2最小势能原理C3C2考虑如图的板受载系统：

7、上：C1上：上：整个系统的势能包括两部分：①板的应变能为应变能密度，是曲率的二次函数；②外载荷（包括边界力）的势能：(一次泛函，固支边界位移变分为0）令w是问题的精确解，是可能的挠度（在上满足；在上满足）最小势能原理指出：与精确解相应的总势能达到最小值，即小于任何其它可能位移相应的总势能。证明的过程与梁的步骤全同。令：满足齐次的边界条件：与相应的总势能可以证明：，且若不是刚体运动，则。因此有，将最小势能原理写成变分形式：(留给同学自己完成)（这