数学高复二十讲(18)概率与统计

数学高复二十讲(18)概率与统计

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1、第十八讲概率与统计【知识梳理】一、概率1.概率基本概念(1)随机事件*必然事件,不可能事件(2)互斥事件*彼此互斥(3)对立事件(4)独立事件2.概率定义m(1)统计定义P(A)∽,0≤P(A)≤1.nm(2)古典定义P(A)=,0≤P(A)≤1.n3.概率基本定理(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)*P(A)+P(-A)=P(A+-A)=1(2)P(A·B)=P(A)P(B

2、A)(3)Pn(k)=Ckk(1-p)nknp4.随机变量(理科)(1)随机变量的分布列(2)期望E

3、=x1p1+x2p2+…+xnpn+…(3)方差D=(x1-E)2p1+(x2-E)2p2+…+(xn-E)2pn+…*标准差=D(4)性质①设=a+b,则E=aE+b,D=a2D.②设∽B(n,p),则E=np,D=np(1-p).二、统计1.统计概念(1)统计图表(2)总体与样本*个体,容量(3)抽样方法:随机抽样,系统抽样,分层抽样(4)总体分布的估计2.统计分析(1)正态分布(2)线性回归【参考例题】1.从0到9这10个数字中任

4、取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,这数不能被3整除的概率为()19353841A.B.C.D.54545460解:设A={0,3,6,9},B={1,4,7},C={2,5,8}.则可组成32A10-A9=648个三位数,其中(1)在A中取3个数字,可以组成能被3整除的的三位数有C12·A=18(个)33(2)在B,C中各取3个数字,可以组成能被3整除的的三位数有32·A3=12(个)(3)在A,B,C中各取1个数字,可以组成能被3整除的的三位数有C1113112·C·C·A-C·C·A=198(个

5、)433333218+12+19835所以,所求概率为p=1-=,选B.648542.将7个人(含甲、乙)分成三个组,一组3人,另两组2人,不同的分组数为a,甲、乙分在同一组的概率为p,则a、p的值分别为()54A.a=105,p=B.a=105,p=212154C.a=210,p=D.a=210,p=2121C22·C解:a=75=105.A2212C5·C4甲、乙分在3人组的分法有=15(种)A22甲、乙分在2人组的分法有C2=10(种)515+105所以,甲、乙分在同一组的概率为p==.10521选

6、C.3.一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标以数0,两个面上标以数1,一个面上标以数2,将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积的数学期望是.111解:将正方体抛掷1次,出现0,1,2的概率分别是,,.23611113P(=0)=·+2··=,22224111P(=1)=·=,339111P(=2)=2··=,369111P(=4)=·=,66361114E=1·+2·+4·=.993694.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(

7、如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[2500,3000)(元)月收入段应抽出人.解:p=0.0005×(3000-2500)=0.25,m=10000×0.25=2500(人),而样本容量:总体个数=100:10000=1:100所以,在[2500,3000)(元)月收1入段应抽出2500×=25(人).1005.某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;方案

8、二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a、b、c,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.(1)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;(2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)解:设对指定课程考试及格的事件记为A,B,C,则P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c.(1)p1=P(A·B·-C)+P(A·-B·C)+P(-A·B·C)+P(A·B·C)=ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)+ab

9、c=ab+bc+ca-2abc.1111p2=P(A·B)+P(B·C)+P(C·A)=(ab+bc+ca).3333(2)∵a,b,c∈[0,1],2∴p1-p2=(ab+bc+ca)-2abc32=[ab(1-c)+bc(1-a)+ca(1-b)]≥0,3∴p1≥p2.6.甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有2个红球,2个白球;乙袋装有2个红球,n个白球.现从甲,乙两袋中各任取2个球.(1)若n=3,求取到的4个球

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