求解非线性动力方程边值问题的加权残数打靶法

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1、求解非线性动力方程边值问题的加权残数打靶法85工租实际中，由于动力微分方程的非线性性质，大多数只能使用数值方法米求解•样条加权残数法是一种求解微分方程有效方法,它具有收敛快，稳定性好，便于计算机实施等优点[1]・对于非线性动力问题，样条加权残数法有明显的优点[]・1求解非线性动力问题的样条子域法1」非线性结构增量动力平衡方程对于非线性结构，方程(1)是一个非线性微分方程，山于，均为时间f的函数，所以方程(1)亦可写作m+,D(f)+Is(f)=,(f)(3)要求解微分方程(3),可采用增:肇法，即将时间离散为着千段,

2、在每个时间间隔Af内，把非线性问题当作线性问题处理,集合所有分段q的线性解便可得到非线性动力问题的近似解•这是一种解决非线性问题常用的分段线性化方法.方程(3)的增量动力平衡方程为?nA-()+c(t)A-(t)+(f)AH(f)=A,(f)(4)式中c(f)：0”k(匸+Af(t)=,(f+At)—,()方程(4)可作线性方程处理，是非线性动力平衡方程线性化的结果.1.2三次B样条函数在术文中,直接使用三次B样条砸数()作为时域的分段试函数..()的定义为(f+2)・rw[—2-1]I(fJ-2)~4(f+l).f

3、e[—1,0]3(0=1/61(2一)•一4(1一f)W[o,l](5)I(2-r).fe[l,2]o>21.3求解增量动力方程的样条子域法[2]根据加权残数法的概念，在时间区间[ff]内设试函数P为式中[a]=[a〜laoa…a•…]是待定系数矩阵.{(D}：[(f—・)(fO)：(r)•…(匚)・?・]△仁f+l—f.e6Af是时间区间叭f・・・]上无量纲化的时间变量，有OSS】・因为也()是用四个区间的曲线表达的分段多项式，在任一时间区间[f只有四条曲线非零,这四条曲线方程为：1/6(1一f)・，1/6[

4、Z—r)—4(1—f).]l116[(l+r).—4r.]fl/6r.j对应于这四条曲线的待定系数分别为a,a„a.4-.,a.所以，在ELf…]内,试函数冷)为)=am(l—r)3+a<16-[(2——4(1一]+a;+‘il(l+—川+(),()可由上式求导分别得到.在三时，[有二0,所以在时刻有l(a+a?+a.(lf)=刍(_al_【+ai・t):()=1(ai-l-2a.+a)J根据增量方程⑷，在[f?]内取hu()=“⑴一”(•)｛A”(f)=“(f)一气fjl一(f;)fA/(t)二，⑴一,(f;)j把

5、(7),⑻,(9)式代入方程⑷，形成残差("为)｛一寿m+c托)+4-r(11_[).l]R(/al-｛墨m_A3r2-厂4rc(fi)+_E(2(l」)一4]k(t))a.+｛一麦m+堑珏・3匚ooj+^[(l+r)r3-l)+猛m+c(ff)+(fl)间+_,(卅,(f利用加权残数法的公式f(r)(r)dr:oJD⑹⑺⑼(10)在子域法中,取权函数矿⑴=1,可导出样条函数——子域法系数的递推公式去,(t)dt-_La1碧D-18-k(t,C(tk(tf—)1一击一m+古k(t)L—1m+6〜tC(t)+R(t.(

6、12)当f:•时,=0,a—,a,a由初始条件定fl},l!ll把f=•时的初j!ff条件代入方程⑻，则可解岀a+'，u.・AtZtz13)口二一廿at=t〜o+匕，，仟式中，•是把三时的初始条件代入非线性动力平衡方程而得到.在f:+l时刻有u(t・.・)=一l(ar+姐…+am)01:(cl=j(a.十alT")}(九))(t)=壶(a.—2a一十a一)1利用初始条件求出初始待定系数a-,a,a后,可按递推公式(11)计淖岀其余待定系数，则由公式(14)计算任一时刻+,的位移漣度,加速度•但在非线性动力咚题中，因C

7、(t.),k(t)是与位移及速度有关的变嚣，所以在每一步计算中，除了计算出待定系数ar下外，还应计算出””把所求岀的蜥,.代入c(),fl(t(十))才能进行下一步计算，系数递掖不能单独进行.在文献(2)中，作者按文献［6］讨论了样条函数子域法计算公式的稳定性,所得结论是：样条函数子域法是条件稳定的,其稳定条件是t

8、求解非线性结构动力平衡方程边值问题的方法.利用上节推导出的样条函数子域法求解定解问题(2),得到微分方程(2)的近似解Vtr),如果在t=时刻有F()=“(“)一使得lF(s)l