《加权残值法》PPT课件

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1、加权残值法引入加权残值法的原因：①结构复杂很难列出泛函具体表达式②或列出的泛函对应的欧拉方程（微分方程）很难直接从方程式求解从微分方程及边界条件出发加权残值法求解问题的主导思想：将微分方程转化为积分方程，直接解积分方程加权残值法：直接求解积分方程的近似计算方法2.1加权残值法的基本思想①假设试函数和未知参数式为控制方程的近似解②将其带入原控制方程③此时不能满足原方程，必产生误差残差④通过将残差进行积分，令其在积分意义下等于零得到一系列有关未知参数的代数方程⑤通过求解方程求出未知参数，进而获得问题的解举

2、例说明qOylx求右边所示梁的挠曲线方程位移法梁的微分方程式：设试函数：待定未知参数位移边界条件：控制方程应为梁的挠曲线方程：试函数的特点：满足位移边界条件：残值建立在某种加权平均的意义下让残值为最小的方程：如在最小二乘方意义下残值为最小，得公式得一般加权残值法的控制方程①控制微分方程连续体的力平衡方程式在Ω域内②位移边界条件③力边界条件在边界上在边界上其中：是问题的精确解为与无关的给定的域内和边界上的量。整个边界是一般近似解的形式其中：是待定参数；试函数；该试函数的设定，可以满足全部的边界条件、位移

3、边界条件、或不满足任何边界条件。一般残值的表达形式一般为了消残选取的权函数表达形式一般消残公式消除结构域内部残值的权函数：消除边界残值的权函数：消除结构域内部残值的残值方程：消除边界残值的残值方程：构成含有待定参数的线性代数方程组2.2常用加权残值公式根据试函数选取满足原问题条件的不同，上述公式可以具体写成以下形式：①试函数满足所有边界条件但不满足域内控制方程②试函数满足域内控制方程、不满足所有边界条件④试函数不满足域内控制方程及力边界条件③试函数不满足域内控制方程及位移边界条件2.3一般常用权函数（

4、1）狄拉克函数（2）0-1函数（3）最小二乘函数（4）试函数（5）幂级数配点法子域法最小二乘法迦辽金法矩量法δ函数的主要性质：①①配点法权函数的形式δ函数0②③0④配点法对应消残公式：对应的物理含义将力的平衡条件放宽到仅在个别离散点上满足。Lq例题试求左图所示两端自由支持梁挠曲线。设试函数梁的挠曲线方程式：加权残值法的公式：该试函数的特点：（1）满足边界条件（2）具有两个待定参数显然我们只需要在两点上满足残值公式，即可求出未知参数。若取两点为：代入方程得公式梁的挠曲线方程式：解析法求解在中点处挠度的精

5、确解：②子域法在域内权函数形式：10在域外数学概念：将物体的连续域分成多个子域，保证试函数在各个子域上满足控制方程式的要求。可得到n个有待定参数ai的代数方程，最后求解之。消残方程：例题：求解挠曲线方程Lq完全域：设试函数待定参数2个，分两个子域列方程，、消残方程：得：子域法与配点法的区别及注意事项①配点法在指定点满足控制方程；而子域法是在各个分域内满足控制方程②注意子域法设定试函数时可以采用全域可设定一个连续的试函数；或者不同子域设定不同的子函数但必须保证在子域公共边界上满足试函数连续条件。③最小二

6、乘法权函数通过在域内对残值求平方积分，且使其达到平方意义下的最小条件获得的函数。消残方程：极值条件权函数表达形式例题：求解挠曲线方程Lq设试函数待定参数2个为待定参数④迦辽金法相当常用的一种方法，取权函数为试函数本身。设试函数权函数消残方程qOylx举例求挠曲线方程设试函数满足力及位移边界条件消残方程将下式代入得：得：⑤矩量法权函数形式为幂指数。一维指数：二维指数：一维指数的消残方程Lq举例求挠曲线方程例题：求解挠曲线方程设试函数待定参数2个此时需要两个求解参数方程，需要用一维中两项指数消残方程式显然

7、设定的试函数对计算会产生很大影响①影响精度②积分计算的难易程度2.4一般常用试函数①多项式。以幂级数形式表示的单重或双重的幂级数；②三角级数；③样条函数；④梁函数；直梁自由振动的振型2.5加权残值法在薄板问题上的应用薄板弯曲的基本方程及边界条件：力的平衡条件：边界条件：①简支边：②固定边：③自由边：一般较复杂的弹性问题求解，需要进行以下工作：（1）计算中的无量纲化问题（2）试函数的选取问题，试函数满足微分方程及边界条件的情况（3）控制方程的确定（4）配点的选取（5）控制方程的矩阵表达形式（6）具体求解

8、计算2.5加权残值法的应用2.5.1最小二乘配点法解薄板弯曲问题①无量纲化对结构的长度量纲进行无量纲操作无量纲化后的物理量：挠度坐标对力的量纲进行无量纲操作分布载荷：②选取试函数无量纲的试函数无量纲参量下的内部力的平衡条件试函数的特点：不满足内部里的平衡条件、也不满足边界条件.内部残值边界条件：①简支边：边界残值：②固定边：边界残值：③自由边：边界残值：最小二乘配点法板的弯曲问题①配点的个数配点个数与选定的试函数含有的待定参数的个数相等②配点的位置在板的