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1、经济与应用数学——概率论与数理统计 马统一08级电信、工管(六)概率论与数理统计复习(第1-3章)第一章随机事件与概率一、随机事件（一）基本概念1、随机现象：在一定条件下结果不确定的现象。2、随机试验：满足三个条件的试验。（P2）3、样本空间、样本点（P3）4、随机事件（1）基本事件（即样本点ω）（2）复合事件：含两个以上样本点的随机事件（二）事件的关系及运算1、五种基本关系（1）包含（2）相等（3）互斥（不相容）即满足：AB=Φ（可推广）（4）对立，满足：①AB=Φ②A∪B=Ω对立事件必为互斥事件，反之不然。（5）独立，若P（AB）=P（A
2、）P（B）则称A与B独立。独立与不相容是两个不同的概念，不能混淆。独立的性质：第23页定理1、定理2、32、三种运算关系：并，交，差要求：（1）对一个具体试验要弄清试验方式，什么是一次试验？试验的要求是什么？一次试验结果指什么？会写出试验的样本空间；（2）会表示事件；（3）会正确运用事件的关系并进行运算。例1：随机投掷两颗骰子，观察骰子的点数。（1）写出试验的样本空间；（2）写出事件A=“点数之和为奇数”二、事件的概率（一）概率的定义（3种定义）1、统计的定义2、古典定义（P7，定义1.2.1,含几何概率，定义1.2.2，P10）3、公理化定
3、义（定义1.2.4，P14）（二）概率的性质（P15）1、0≤P(A)≤12、P(Ω)=1,P(Φ)=03、若A1,…,An,…，两两互斥，则:4、5、单调性若，则P(A)≤P(B),且P(B-A)=P(B)-P(A)6、加法定理对任意两事件A,B,有：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)（可推广）7、乘法公式P(A1A2…An)=P(A1)P(A2︱A1)P(A3︱A1A2)…P(An︱A1A2…An-1)特别：若A1,…,An独立，则P(A1…An)=P(A1)P(A2)…P(An)三、概率的计算（一）古典概型一般计算步骤：1、判
4、断试验为古典试验，即满足：（1）试验结果为有限个；（2）每个可能结果的发生是等可能的2、分析样本空间的构成3、考察所说事件A的构成4、由公式进行计算（二）几何概型所求概率为：P（A）=[A所包含的区域度量]/[样本空间的度量]（三）条件概率及其全概率公式1、条件概率：若P(B)＞0，则2、全概率公式如果B1,…,Bn为一完备事件组，即满足：（1）B1,…,Bn两两不相容i=1,…,n；（2）Ω则对任意事件A，有：(其中P(Bi)＞0)特别，事件A与A的对立事件构成完备事件组。对任意事件B，有：3、贝叶斯公式（逆概率公式）如果B1,…,Bn为一
5、完备事件组，P(Bi)＞0，i=1,2，…,n则对任一不为零的事件A，有：（四）独立试验序列概型1、事件的独立性：若P(AB)=P(A)P(B)（或P(A︱B)=P(A)），则称事件A与B独立。2、独立试验序列概型；设E1、E2是互不影响的两个试验，而A1、A2分别是E1和E2的一个事件，则A1与A2两是相互独立的。称E1、E2是两个独立试验序列。（可推广）3、n重贝努里概型（1）贝努里试验：如果一个试验满足：①只有两个可能结果，A=”成功“，B=”失败“②P(A)=p,P(B)=qp=q=1(0＜p＜1),则称此试验为一个贝努里试验（2）n
6、重贝努里试验（贝努里概型）将一个贝努里试验独立地、重复做n次的试验模型，称贝努里概型，亦称n重贝努里试验。在n重贝努里试验中，令：BK=“事件A在n次试验中发生K次”,则:K=0,1,…,n上式称二项分布，记为B（n,p）（五）普阿松概型1、普阿松公式：它表示观察对象随时间进程在单位时间内出现次数的概率。上面公式称普阿松分布，记为P（）2、与二项分布B（n,p）的关系：在n重贝努里试验中，当n较大（n≥30），而P较小时，有下面计算公式：其中λ=nP例2：在例1的试验中，求：（1）A=“点数和为奇数的概率”；（2）B=“点数不同的概率”例3：
7、某产品40件，其中有次品3件。现从其中任取3件，求下列事件的概率：（1）A=“3件中恰有2件次品”；（111/9880）（2）B=“3件中至少有1件次品”（633/2964）例4：一盒装有10只晶体管，其中有4只次品，6只正品，随机地抽取1只测试，直到4只次品晶体管都找到。求最后一只次品晶体管在下列情况发现的概率：（1）A=“在第5次测试发现”。（2/105）（2）B=“在第10次测试发现”。（2/5）例5：将编号1，2，3的三本书任意地排列在书架上，求事件A=“至少有一本书自左到右的排列顺序号与它的编号相同”的概率。例6：五个乒乓球，其中三
8、个旧球，二个新球，每次取一个，共取两次，以有放回和无放回两种方式求下列事件的概率：（1）A=“两次都取到新球”；（2）B=“第一次取到新球，第二次取到旧球”；（3）
