概率论与数理统计第13章复习资料

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1、经济与应用数学——概率论与数理统计 马统一08级电信、工管(六)概率论与数理统计复习(第1-3章)第一章随机事件与概率一、随机事件(一)基本概念1、随机现象:在一定条件下结果不确定的现象。2、随机试验:满足三个条件的试验。(P2)3、样本空间、样本点(P3)4、随机事件(1)基本事件(即样本点ω)(2)复合事件:含两个以上样本点的随机事件(二)事件的关系及运算1、五种基本关系(1)包含(2)相等(3)互斥(不相容)即满足:AB=Φ(可推广)(4)对立,满足:①AB=Φ②A∪B=Ω对立事件必为互斥事件,反之不然。(5)独立,若P(AB)=P(A)P(B)则称A与B独立。

2、独立与不相容是两个不同的概念,不能混淆。独立的性质:第23页定理1、定理2、32、三种运算关系:并,交,差要求:(1)对一个具体试验要弄清试验方式,什么是一次试验?试验的要求是什么?一次试验结果指什么?会写出试验的样本空间;(2)会表示事件;(3)会正确运用事件的关系并进行运算。例1:随机投掷两颗骰子,观察骰子的点数。(1)写出试验的样本空间;(2)写出事件A=“点数之和为奇数”二、事件的概率(一)概率的定义(3种定义)1、统计的定义2、古典定义(P7,定义1.2.1,含几何概率,定义1.2.2,P10)3、公理化定义(定义1.2.4,P14)(二)概率的性质(P15

3、)1、0≤P(A)≤12、P(Ω)=1,P(Φ)=03、若A1,…,An,…,两两互斥,则:4、5、单调性若,则P(A)≤P(B),且P(B-A)=P(B)-P(A)6、加法定理对任意两事件A,B,有:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)(可推广)7、乘法公式P(A1A2…An)=P(A1)P(A2︱A1)P(A3︱A1A2)…P(An︱A1A2…An-1)特别:若A1,…,An独立,则P(A1…An)=P(A1)P(A2)…P(An)三、概率的计算(一)古典概型一般计算步骤:1、判断试验为古典试验,即满足:(1)试验结果为有限个;(2)每个可能结果的发生是等

4、可能的2、分析样本空间的构成3、考察所说事件A的构成4、由公式进行计算(二)几何概型所求概率为:P(A)=[A所包含的区域度量]/[样本空间的度量](三)条件概率及其全概率公式1、条件概率:若P(B)>0,则2、全概率公式如果B1,…,Bn为一完备事件组,即满足:(1)B1,…,Bn两两不相容i=1,…,n;(2)Ω则对任意事件A,有:(其中P(Bi)>0)特别,事件A与A的对立事件构成完备事件组。对任意事件B,有:3、贝叶斯公式(逆概率公式)如果B1,…,Bn为一完备事件组,P(Bi)>0,i=1,2,…,n则对任一不为零的事件A,有:(四)独立试验序列概型1、事件

5、的独立性:若P(AB)=P(A)P(B)(或P(A︱B)=P(A)),则称事件A与B独立。2、独立试验序列概型;设E1、E2是互不影响的两个试验,而A1、A2分别是E1和E2的一个事件,则A1与A2两是相互独立的。称E1、E2是两个独立试验序列。(可推广)3、n重贝努里概型(1)贝努里试验:如果一个试验满足:①只有两个可能结果,A=”成功“,B=”失败“②P(A)=p,P(B)=qp=q=1(0<p<1),则称此试验为一个贝努里试验(2)n重贝努里试验(贝努里概型)将一个贝努里试验独立地、重复做n次的试验模型,称贝努里概型,亦称n重贝努里试验。在n重贝努里试验中,令:

6、BK=“事件A在n次试验中发生K次”,则:K=0,1,…,n上式称二项分布,记为B(n,p)(五)普阿松概型1、普阿松公式:它表示观察对象随时间进程在单位时间内出现次数的概率。上面公式称普阿松分布,记为P()2、与二项分布B(n,p)的关系:在n重贝努里试验中,当n较大(n≥30),而P较小时,有下面计算公式:其中λ=nP例2:在例1的试验中,求:(1)A=“点数和为奇数的概率”;(2)B=“点数不同的概率”例3:某产品40件,其中有次品3件。现从其中任取3件,求下列事件的概率:(1)A=“3件中恰有2件次品”;(111/9880)(2)B=“3件中至少有1件次品”(

7、633/2964)例4:一盒装有10只晶体管,其中有4只次品,6只正品,随机地抽取1只测试,直到4只次品晶体管都找到。求最后一只次品晶体管在下列情况发现的概率:(1)A=“在第5次测试发现”。(2/105)(2)B=“在第10次测试发现”。(2/5)例5:将编号1,2,3的三本书任意地排列在书架上,求事件A=“至少有一本书自左到右的排列顺序号与它的编号相同”的概率。例6:五个乒乓球,其中三个旧球,二个新球,每次取一个,共取两次,以有放回和无放回两种方式求下列事件的概率:(1)A=“两次都取到新球”;(2)B=“第一次取到新球,第二次取到旧球”;(3)

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