柯召方法及其应用

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1、柯召方法及其应用西华师范大学数学与信息学院2015年9月1、2.3、4、勒让德(Legendre)符号与雅可比(Jacobi)符号及其计算Catalan猜想与柯召方法柯召方法的发展及其应用我们最近的工作1、勒让德（Legendre）符号与雅可比（Jacobi符号）及其计算定义1设m>l,若同余式方程X2=77（modZZ7）,（77,刃）=1有解，则称n是m的二次剩余，否则称n为H1的二次非剩余。n是m的二次剩余的充分必要条件是：m-1n2=1（modzzz）n为m的二次非剩余的充分必要条件是：m-1n$=-1（modzzz）.定义2设p为奇素数,1,如勦是

2、门的二次剩余-1,如果沁的二次非剩券（、函数-称为勒让德符号。如果QI刀,W丿如果加三n(modp),那么关于勒让德符号的计算，由于对于给定的奇素数P，勒让德符号是一个完全积性函数，即:/、mnIp丿(p)所以勒让德符号的计算，只需计算下面三种值:我们有(1)⑵(2)-Ip丿(3)-p(2)/、纟,Q是奇素戮Vp)1,p=I(mod4)-1,p=-1(mod4)1,p=±1(mod8)-1,p三±3(mod8)p-l67-1=(一1)〒丁q)ip丿定义3设m为正奇数，m=叩2…Pt，0—=1,2,•••,t是素数,n凹丿称为雅可比符号。如果q三刀2(modm

3、),/、nl/、丝冷丿L〃丿那么雅可比符号的计算，与勒让德符号的计算相似：，只需计算下面三种值:5丿—,刃是正奇娄."〃丿我们有(1)/Z7=1(mod4)m=-(mod4)(2)±1(mod8)±3(mod8)n〃一1n-l(-1)〒〒S'2、CataIan猜想与柯召方法a"（日＞a"】＞1）称为正整数的乘幕。1842年，Catalan猜想除开8=2：）,9=32外，没有两个连续正整数是都是正整数的乘幕（该猜想已由米哈伊列斯库（P.Mihilescu）于2003年证明）。用不定方程的语言叙述就是：不定方程yq-Xp=l,p,q均为素数（1）除开p=3,x

4、=2,q=2,y=3外，没有其它正整数解。柯召院士于1962年（柯召，关于方程/=/+1,刃工0,四川大学学报（自然科学版），1（1962）,1-6）完全解决了q=2这种特殊情形。其证明思路如下：若x,y,p是（1）的一组解，那么有、2

5、mod^3一1)日=11时，x=2(mod8),-x1-x2(x9-1),x3-1=-1(mod8),,所以F+l]rx2+1、”-1丿八1丿e+d

6、三eQ(mod£(7))因此关于E{a)pEQlv)~E⑴人£(/))PEll)P1的证明，注意到：u=qv+r,017,所以在模"的二次非

7、剩余中，一定存在一个大于1的止奇数厶由此得:1==T,矛盾.P上述证明方法，就称为柯召方法。3、柯召方法的发展及其应用为了证明费马大定理第一情形中的一种特殊情形成立，即不定方程0+y2p=zlp,2px2p刀门是奇素数，没有xyz丰0的整数解，G.Terjanian（G.Terjanian,SurKequation戸+y2p=z2p,C.R.Acad.Sci.Paris,285（1977）,973-975）用到了柯召方法,他需要计算Jacobi符号侔空］2/肋,处“）=兰二A4丨（―y）.IA“x,y）丿x-y这可以说是柯召方法的发展和应用的一个例子。设

8、斤〉0,0为整数,Lehner序列久（&0）和Leh