恒成立问题的研究方法

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1、恒成立问题的研究方法思想与方法“恒成立”问题是数学中常见的问题，经常与参数的范围联系在一起，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题。常用方法：（1）函数与方程方法。利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题转化成二次方程的根的情况的研究。有些问题需要经过代换转化才是二次函数或二次方程。注意代换后的自变量的范围变化。（2）分离参数法。将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如：或或恒成立的形式。则ó的范围是的值域。恒成立ó；恒成立ó。（3）若已知恒成立，则可充分利用条件（赋值法等）。范例选讲例1：已知不等式　　　　　　　　　在区间［2,3］上恒成立，求实数m的取值范

2、围。【分析】有哪些方法？答案：例2：已知关于的方程恒有解，求实数的取值范围。【分析】做代换后变量的范围发生了什么变化？例3、（03广东江苏）解：(II).用f(x)、f(x)表示f(x)在[0,1]上的最大值、最小值，则对任意x[0,1],都有

3、f(x)

4、1当且仅当（*）而f(x)=-b(x－+，（x[0,1]）当2b时，0<1，f(x)=，f(x)=f(0)或f(1)；当2b1,f(x)=f(1)，f(x)=f(0)，于是(*)或b-1a2或xb-1a2.例4：是否存在常数c，使得不等式对任意正数x,y恒成立？试证明你的结论。4/4训练题1．(2002年全

5、国高中数学联赛第12题)求使不等式sinx＋acosx＋a1＋cosx对一切xR恒成立的负数a的取值范围。2．(1990年全国高考题)设f(x)=lg,aR,nN且n2.若f(x)当x(-,1]有意义，求a的取值范围.3．（福建04）已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥

6、x1－x2

7、对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.4．设使得不等式对一切实数x都成立，证明你的结论。

8、4/4习题答案详解练习1．解：原不等即cosx＋（1－a）cosx－a0(*)令cosx=t，由xR知t[-1，1]，于是(*)对一切xR恒成立当且仅当f(t)=t＋（1－a）t－a0(**)对一切t[-1，1]恒成立，其充要条件f(t)在[-1，1]上的最大值f(t)0,而f(t)=f(1)或f(-1)，因此(**)对一切t[-1，1]恒成立当且a-2故所求的a的范围为(-,-2].练习2、解：f(x)当x(-,1]有意义，当且仅当1＋2＋…＋(n-1)＋n>0对x(-,1]恒成立。即g(x)=＋＋…＋＋a>0，对x(-,1]恒成立，而g(x)在(-,1]上是减函数

9、，其最小值为g(1)=＋＋…＋＋a=(n－1)＋a.于是g(x)>0对x(-,1]恒成立当且仅当＋a>0，即a>。故所求a的范围为（，+）。练习3、解：（Ⅰ）f＇(x)==，∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.①设(x)=x2－ax－2，方法一：①－1≤a≤1，∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0∴A={a

10、－1≤a≤1}.方法二：①或4/40≤a≤1或－1≤a≤0－1≤a≤1.∵对x∈[－1，1]，f(x)是

11、连续函数，且只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0∴A={a

12、－1≤a≤1}.（Ⅱ）由=，得x2－ax－2=0，∵△=a2+8>0∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=－2，从而

13、x1－x2

14、==.∵－1≤a≤1，∴

15、x1-x2

16、=≤3.要使不等式m2+tm+1≥

17、x1－x2

18、对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立.②设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，方法一：②g(－1)=m2－m－2≥0

19、，g(1)=m2+m－2≥0，m≥2或m≤－2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥

20、x1－x2

21、对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m

22、m≥2，或m≤－2}.方法二：当m=0时，②显然不成立；当m≠0时，②m>0，g(－1)=m2－m－2≥0或m<0，g(1)=m2+m－2≥0m≥2或m≤－2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥

23、x1－x2

24、对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m

25、m≥2，或m≤－2}.练习4：提示假设存在，赋值法找到尽可能多的关系。从而得到b=1,c=2.5-a等，然后用a表示f(x)