高中数学第二章函数概念与基本初等函数i21函数的概念212函数的定义域、值域

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1、2.1.2函数的定义域、值域课堂导学三点剖析一、求函数的定义域【例1】求下列函数的定义域，并用区间表示.(1)f(x)=—-—；x—2(2)f(x)二J3x+2;y/x-X⑷f(x)=j2x+3-^^=+丄.冷2—xx思路分析：当函数解析式给出，定义域就是使其解析式有意义自变量的范围；当一个函数由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成吋[如(3)(4)],定义域是使各个部分都有意义的公共部分的集合.解析：(1)要使f(x)二一—有意义，必须X-2H0,所以xH2.x—2故函数的定义域是{x

2、xH2},区间表示为(-8,2)U(2,+

3、b).2(2)要使f(x)=V3x+2有意义，必须3x+2N0,所以xN-—.32?故函数的定义域是{x

4、x2-—},区间表示为[-一，+8]•33(3)由于0°没有意义，所以x+lHO.①又分式的分母不可为零，开偶次方根被开方数非负，所以

5、x

6、-xH0,即x〈0.②2x+3>0,必须<2-%>0,由①②可得函数的定义域为{x

7、x<0且xH-l},区间表示为(―,-1)U(-1,0).(4)要使函数f(x)二J2兀+3—丁L+丄有意义,a/2—x兀333所以--^x<2且xHO,故函数的定义域为{x

8、--^x<2且xHO},区间表示为[--

9、,0)222U(0,2).二、函数值域的求法【例2】求下列函数的值域：(1)y二x'-4x+6,xW[1,5)：(2)y=^54~4x—x~.解析：这是二次函数在定义域范围内求值域的问题，可用配方法，结合二次函数的图象(如右图)来求.(1)配方,得y=(x-2)2+2.Vxe[1,5),・・・函数的值域为{y

10、2^y

11、方法：①观察法：根据完全平方式、算术根、绝对值都是非负数的特点，以及函数的图象、性质等，观察得出函数的值域•②配方法：二次函数或转化为形如F(x)=aLf(x)]2+bf(x)+c的函数的值域，均可采用配方法求之.③分离变量法：一般形如y二竺±色可用此法求解.④换元法：形如y二ax+b土QCJC+d(a、b、c、d均为常数，且accx+dHO)的函数，一般设t二Jcx+d,然后x用t表示出来，代入原函数，使原函数转化为关于t的二次函数，从而求出函数的值域，一定要注意t的范围，t20・三、求形如f[g(x)]的定义域【例3】若函数f(x)的定

12、义域是[1,4],求f(x+2).f(x2)的定义域.解析:Vf(x)的定义域为[1,4],・••使f(x+2)有意义的条件为1WX+2W4,即-1WxW2,则f(x+2)的定义域是[-1,2]・同理，由1Wx《4,即-2WxW-1或1WxW2,则fX)的定义域为[-2,-1]U[1,2].温馨提示这里易误解为：由1WxW4,・・・3Wx+2W6.・・・f(x+2)的定义域为[3,6],忽视了f(x+2)有意义的条件，习惯性地代换x是错因.各个击破类题演练1函数y二｛亘的定义域为.x+2

13、x+4n0，解析：由已知应有彳£+2工0,解得x$-

14、4且xH-2,所以定义域为[-4,-2)U(-2,+-).答案：[-4,-2)U(-2,+8)变式提升1已知函数f(x)的定义域是】a,b],其中a

15、a

16、>b,求函数g(x)=f(x)+f(~x)的定义域.解析：若g(x)的定义域为M,f(x)及f(-x)的定义域分别为A、B,则有M=AAB,利用数轴分析得知，阴影部分即为所求.AHB1「丨>a0b一a•・•函数f(x)有定义域为[a,b],aWxWb.若使f(-x)有意义，必须有aW-xWb,即有-bWxW-a.VaO>-b.又V

17、a

18、>b>0,.*.a<-b

19、,且b<-a.・・・函数g(x)的定义域为{xaWxWb}A{x

20、-bWxW-a}={x

21、-bWxWb}.类题演练2求下列函数的值域.(l)y=3x+2,xe{-1,0,1,2};⑵y=7x-l;(1)y=-x2-2x+3;(4)y=x-4x+1解析:(1)函数的定义域为{-1,0,1,2},Vf(-l)=3X(-1)+2二-1,f(0)=2,f仃)=5,f(2)=8.・・・函数的值域为{T，2,5,8}.⑵V4x>0,AVx-1^-1.・•・函数值域是[T,+°°).(3)Vy=-x2-2x+3=-(x+l)2+4.当X=-l时,Vmax

22、=4..•・函数的值域为(-8,4]・r-455⑷y二乞丄1-丄，・・•丄工0,兀+1X+1兀+1函数值域是(-8,1)U(1,十8).变式提升2设A二[1,b](b>l),函数