《文本》基本不等式及其应用《基本不等式及其应用》（上教版高一上册）

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1、2.4(1)基本不等式及其应用1、基本不等式1基本不等式1对于任意实数Q和b,^a2+b2>2ab,当且仅当a=b^等号成立.(1)基本不等式1的证明证明：因a2+b2-lab-(«-Z?)2>0,所以a?X2db.当a=b时，(a_b)2=0.当a^b时，(d—b『>0.所以，当且仅当a=b吋，a2^-b2>lab的等号成立.(2)基本不等式1的几何解释①解释1边长为。的正方形面积与边长为b的正方形面积之和大于等于以a、b为邻边长的矩形面MbAEDHF积的2倍(当且仅当a=b时等号成立).已知正方形ABCD,分别在边AD.边DC上取点E、F,使得DE=DF.分别过点E、F作EG丄BC、FH

2、丄AB,垂足为G、H.EG和HF交于点M.市几何画板进行动态计算演示，得到阴影部分的而积>剩余部分的面积，当且仅当点E移至4D中点时等号成立.②解释2某届数学大会的会徽怎样的?三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为：如图所示，以a、b、c分别表示勾、股、弦，那么，ad表示“弦图”中两块“朱实”的面枳，(h-a)2表示“中黄实”的面枳.于是，从图中可明“弦图”的现代数学图示显看出，四块“朱实”的面积加上一个“中黃实”的面积就等于以c为边长的正方形“弦实”的面积，即c2=(〃一a)，+2ah=h2-2ab+a2+2ah=a2+h2这就是勾股定理的一般表达式.由图可知:

3、以c为边长的正方形“弦实”的面积>四块“朱实”的而积即，a2^b2>2ab（当且仅当a=b吋等号成立）.2、基本不等式2观察下面这个几何图形.已知半圆0,D是半圆上任一点，AB是直径.过D作DC丄AB,垂足为C.显然有线段OD的长度大于等于垂线段DC的长度.设AC=afCB=b,W用q、b来表示上述这个不等关系.（即后，当且2仅当a=b吋等号成立.）基本不等式2对于任意正数b,有丝2»范，当且仅当a=b时等号成立.2我们把和J亦分别叫做正数Q、〃的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式22也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（1）基本不等式2的证明证明：因a+b-2l~

4、ab=(y/a~y[b^>0,所以当a=b时，（J^—丽）=0.当a工b时，（丽一丽）>0.所以，当且仅当0"时，字、临的等号成立.另证：因为Q、b•为正数,所以J7、丽均存在.由基本不等式1,得（丽）2+（丽）2需丽，当且仅当奶=丽时等号成立.即宁'屁’当且仅当归时等号成立.（2）基本不等式2的扩充对于任意非负数g、b,有->4ab.当且仅当a=b^等号成立.例1已知ob>0,求证：-+->2,并指出等号成立的条件.ab证明：因为加?>0,所以a、b同号，并有->0,->0.ab所以，-+->2J-«-=2.当且仅当-=即a=b^0时等号成立.ababab［说明］1、体会代换的方法.2

5、、用语言表述上述结论.3、思考：若ab<0f则代数式-+-的取值范围是什么？（纟+纟5—2,当且仅当a=-b^0abab时等号成立.）3、两个基本不等式的简单应用（1）几何问题例2在周t保持不变的条件下，何时矩形的面积最大?猜想：市儿何画板电脑演示得出.解：设矩形的长、宽分别为d.b（d、beR^）且a+b=m（定值），则同样周长的正方形的边长为宁矩形面积S=ab,正方形面积S'=由基本不等式2,得字，皿又由不等式的性质得,即S'nS•由题意，a+b=m（定值），所以SS2777"——（定值）•当且仅当a=b9即矩形为正方形时，矩形的面积最大.［说明］当两个正数的和为定值吋，它们的积有最大值

6、.例如，若0VXV1吋，有当且仅当兀=丄吋等号成立.(事实上，由丿42(1A2111y=x(l—x)——x^+x=—x—H—(0