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1、浅谈高等数学中数学思想摘要：在学习高等数学的过程中，首先接触到的就是关于数学名词的概念问题，那么深入了解概念是学习掌握高等数学的第一要务；在掌握了概念之后，接下来就是运算能力以及对数学符号的熟识程度；然后就是在学习过程中及做题中学习实践的做题技巧，这就逐渐形成了数学思想方法。数学知识中蕴含的思想方法是极其丰富的，尤其是隐藏于数学知识背后的数学思想的价值不可忽视。本文对数学分析内容中的函数思想、极限思想、连续思想、数形结合思想进行初步的分析。关键词：数学分析数学思想分析一、函数思想函数概念和函数思想的提出和运用，使得变量数学诞生了，常量数学发展到变量数学，函数思想起了决定性作用。函数是数学
2、分析的研究对象，函数思想就是运用函数的观点，把常量视作变量、化静为动、化离散为连续，将待解决的问题转化为函数问题，运用函数的性质加以解决的一种思想方法。在数学分析中，我们通常用来解决不等式的证明、方程根的存在性与个数、级数问题、数列极限等。例1,证明：当x>0时，x-0时，f(x)>0,因此单调递增。又因为f(0)=0,所以当x>0时，f(x)>f(0)=0,即原不等式成立。例2,判断工(-1)n的敛散性。分析：这是一个级数问题，该级数为交错级数，从函数的观点出发，化离散为连续，转化为函数问题，运用函数的性质，从而解决问题。解：该级数为交错级数，由莱布尼兹判别法知，要判断其敛散性，只需判
3、断通项的绝对值un=二是否单调减少且趋于为0。为此，将un连续化，设f(x)=,由于f'(x)=,当x>9时，f'(x)0,aHl)。解：将给定的函数变形为loga(1+x)，再根据对数函数的连续性，有lim=limlog(1+x)=loga[lim(1+x)]=logae0四、数形结合的思想数学是研究空间形式和数量关系的科学，而空间形式和数量关系之间往往存在密切的联系，又有各自特点。数形结合思想方法，就是充分利用形的直观性和数的规范性，通过数与形的联系转化来研究数学对象和解决数学问题。具体包括：数转化为形的思想；形转化为数的思想。这种方法使得复杂问题简单化、抽象问题具体化、形象化、直观
4、化，化难为易，最终找到最优解决方案。数形结合的思想在数学分析课程中的应用广泛，很多抽象问题中都蕴含着某种几何意义，借助几何图形，对抽象问题进行几何解释，使抽象问题结合图形更容易深入理解，更容易掌握其最本质的知识。比如：极限、曲线的渐近线、导数与微分、二元函数偏导数与全微分、定积分与重积分、反常积分（无穷积分与瑕积分）、函数的单调性、函数的凹凸性等概念的几何意义，对于确切理解并正确掌握这些基本概念是非常重要的，同时为解决各种实际问题提供了多样化的方法。又比如：闭区间上连续函数基本性质（介值性定理、根的存在定理）、微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理）、积分中值定理、费马定理、隐函
5、数存在唯一性定理等几何意义，不论对定理的深入理解，还是对启发证明定理结论方面有很大帮助。例5,下面仅谈谈几何图形对拉格朗日定理的内容的理解及证明所起的作用。为了叙述的方便，首先将拉格朗日定理陈述如下：若函数f满足如下：（1）f在闭区间［a,b］上连续；（2）f在开区间（a,b）内可导，则在（a,b）内至少存在一点，使得f'（）=0它的几何意义是若一条曲线在［a,b］上连续，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少存在一点6（,f（））,过点6的切线平行于割线AB（图1）。此定理的证明关键在于运用其几何意义，考虑到这个定理比罗尔定理少了一个条件，构造辅助函数使其满足罗尔定理的要求，即满足函数在
6、端点的取值相同，最后用罗尔定理得出最后的结论。因此，想办法构造一个辅助函数F(x),使得在[a,b]上连续，在(a,b)内可导并且F(a)=F(b)。观察图1可知，割线与曲线有两个交点A与B,要使F(a)=F(b),只需使F(x)的图像经过A,B两点，F(x)可取为曲线纵坐标与割线纵坐标之差。其中，曲线的方程为y=f(x),割线AB的方程为尸f(a)+(x-a),可见，几何图形在此定理的证明起到关键的作用。参考文献[1]复旦大学数学系数学分析(第二版)(上、下册)[M].北京：高等教育出版社，2007,4o[2]高等数学(上)•同济大学出版社，2003,4O
