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1、第21卷第1期 佛山科学技术学院学报(自然科学版)Vol.21No.12003年3月 JournalofFoshanUniversity(NaturalScienceEdition)Mar.2003文章编号:100820171(2003)0120009203若干矩阵乘积的秩的下界韩 清(佛山科学技术学院数学系,广东佛山528000)摘要:讨论了若干矩阵乘积的秩的下界估计,推广了Sylvester和Frobenius的相关结论,得出了两种一般情形下矩阵乘积的秩的下界的估计。关键词:矩阵;秩;Sylvester定律;Frobenius不等式中图分类号:O
2、156文献标识码:A在线性代数和矩阵论中,秩(rank)是一个基本的概念。矩阵的秩是矩阵最重要的数字特征之一。它[1]最早是由Sylvester于1861年引进的。有关矩阵秩的问题往往牵涉到比较复杂的技巧,处理起来通常比较困难。本文将讨论若干矩阵乘积的秩的下界问题。本文用记号r(A)表示矩阵A的秩。设有n个矩阵A1,⋯,An,而且它们可以依顺序相乘。通常乘积A1⋯An的秩r(A1⋯An)很难直接计算出来。因此,给出其估计是一种考虑的方法。对于n为2和3这两种特殊的情形,Sylvester和Frobenius分别给出了很好的结果,即后面的定理1和定理3。本文在
3、此基础上分别推广了他们的结果,得出了一般情形下r(A1⋯An)的下界估计,即以下的定理2和定理5。对于n=2,即两个矩阵乘积的情形,最重要的估计是所谓的Sylvester定律。它是由Sylvester于[2]1884年首先证明的。定理1(Sylvester定律) 设矩阵A1的列数和A2的行数都是k2,则r(A1A2)≥r(A1)+r(A2)-k2,(1)r(A1A2)≤min(r(A1),r(A2))。(2) 定理1的结果是关于两个矩阵乘积的秩的一个很漂亮的估计,已经成为线性代数和高等代数教科[3]书中的经典结论。式(2)说明了矩阵相乘秩要减少。对于式(1
4、),许多文献给出了各种各样的证明,基本上都采用了化矩阵为标准形的思路。式(1)给出了r(A1A2)的一个下界。由此出发,可以得出以下的一个直接推广。定理2设n,k1,⋯,kn+1都是正整数,A1是ki×ki+1矩阵,i=1,2,⋯,n。则nnr(A1A2⋯An)≥∑r(A1)-∑ki。(3)i=1i=2 证明 对n用数学归纳法证明。当n=1时,式(3)即r(A1)≥r(A1),当然成立。假设对于n的情形式(3)成立。考虑n+1的情形。由式(1)与(3),有r(A1A2⋯AnAn+1)≥r(A1A2⋯An)+r(An+1)-kn+1≥nnn+1n+1(∑r(
5、Ai)-∑ki)+r(An+1)-kn+1=∑r(Ai)-∑ki。i=1i=2i=1i=2收稿日期:2002211220基金项目:广东省自然科学基金资助项目(011781)作者简介:韩清(19642),男,江西九江人,佛山科学技术学院副教授,博士,主要从事数论的理论与应用基础方面的研究。©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.10佛山科学技术学院学报(自然科学版) 第21卷即式(3)对n+1的情形也成立。定理证毕。定理2给出了一般的关于n个矩阵乘积的秩的下界
6、的一个估计。在式(3)中令n=2,即得式(1)。所以,式(3)是式(1)的推广。在式(3)中令n=3,可以得出关于3个矩阵乘积的秩的下界的一个估计,即r(A1A2A3)≥r(A1)+r(A2)+r(A3)-(k2+k3)。(4)[2]而Frobenius于1961年证明了一个比上式更好的结果。定理3r(A1A2A3)≥r(A1A2)+r(A2A3)-r(A2)。(5) 在式(5)中取A2为单位矩阵,即可推出式(1)。所以,定理3也是式(1)的一个推广。设矩阵A2,A3的行数分别为k2,k3,则由式(1),有r(A1A2)+r(A2A3)-r(A2)≥(r(
7、A1)+r(A2)-k2)+(r(A2)+r(A3)-k3)-r(A2)=r(A1)+r(A2)+r(A3)-(k2+k3)。 这说明Frobenius对于3个矩阵乘积的秩的下界的估计(式(5))要优于式(4),即为式(3)中n=3的情形。在式(3)中,令n=4,可得出关于4个矩阵乘积的秩的下界估计r(A1A2A3A4)≥r(A1)+r(A2)+r(A3)+r(A4)-(k2+k3+k3)。(6) 利用定理3,可以得出比式(6)更好的结果。定理4r(A1A2A3A4)≥r(A1A2)+r(A2A3)+r(A3A4)-r(A2)-r(A3)。(7) 证明
8、 由式(5),有r(A1A2A3A4)=r(A1A2
