高阶椭圆方程组多解问题

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1、南京航空航天大学硕士学位论文高阶椭圆方程组的多解问题姓名：冯璟申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：安玉坤20080101南京航空航天大学硕士学位论文摘要本文以A.C.Lazer和P.J.Mckenna在研究吊桥的非线性振动问题时提出的数学模型为基础，研究了一类高阶椭圆方程组多解的存在性问题。本文利用上、下解并结合变分方法，把著名的Ambrosetti-Prodi（简称A-P）型结果推广到了二、四阶常微分方程组上，证明了存在一条连续曲线将平面划分为两个无界的部分，当参数t=(t1,t2)分别属于这两部分时，其解的不存在性和多解的存在性，从而得到该方程组的A-P型结果。更进一步的，本

2、文把二、四阶常微分方程组向高维空间拓展，得到一类具有变分结构的二、四阶椭圆方程组，再利用乘积空间上的环绕定理并借助Nehari流形，证明了该椭圆方程组三个非平凡解的存在性。随后，用类似的方法和极大值原理，证明了此类二、四阶椭圆方程组在一定条件下三个非负解的存在性。关键词：二四阶椭圆方程组；A-P型结果；变分法；上、下解；环绕定理；Nehari流形；非平凡解；非负解i高阶椭圆方程组的多解问题ABSTRACTInthispaper,wediscusstheexistenceofmultiplesolutionsforaclassofhigherorderellipticsystem,whic

3、hisonthebasisofamathematicalmodelofthesuspensionbridgepresentedbyA.C.LazerandP.J.McKenna.Bythevariationalmethodtogethersub-supersolution,weextendthefamousAmbrosetti-Prodi（shortlynamedA-P）typeresultsforellipticequationtothesecondandfourthorderordinarydifferentialsystem,andverifythatthereexistsacon

4、tinuouscurvesplittingtheplaneintotwounboundedcomponents,andthemultiplicityandnonexistenceofsolutionswhenparametert=(t1,t2)belongtothetwocomponents,respectively.Moreover,wegeneralizethesecondandfourthorderordinarydifferentialsystemtohigherdimensionandobtainaclassofsecondandfourthorderellipticsyste

5、mwithvariationalstructure.Applyingtheabstractlinkingtheoremonproductspace,andbyNeharimanifold,westudytheexistenceofthreenontrivialsolutionsofthesystem.Moreover,bythesimilarmethodandmaximumprinciple,wediscusstheexistenceofthreenonnegativesolutionsunderotherconditionsforthesecondandfourthorderellip

6、ticsystem.Keywords:secondandfourthorderellipticequations;A-Ptyperesults;variationalmethod;sub-supersolution;linkingtheorem;Neharimanifold;nontrivialsolution;nonnegativesolutionii承诺书本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中

7、以明确方式标明。本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅,可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。(保密的学位论文在解密后适用本承诺书)作者签名：日期：南京航空航天大学硕士学位论文第一章绪论微分方程作为一门自然科学，同其他科学一样，有着非常广泛的实际背景。椭圆型方程是微分方程领域内的一个重要分支，它因其广泛的物理背景和重要的基础性作用而受到普