2015-2016学年北京市中央民族大学附属中学高二上学期期末考试数学（理科）

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1、2015-2016学年北京市中央民族大学附属中学高二上学期期末考试数学（理科）一、选择题（共8小题；共40分）1.设i为虚数单位，则i2014=  A.1B.iC.−1D.−i2.已知等差数列1，a，b，又4，a+2，b+1为等比数列，则该等差数列的公差  A.−1B.0C.2D.13.已知条件p:x>1，条件q:1x≤1，则p是q的  A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知点Px,y在不等式组y≤x,y≥−x,x≤2表示的平面区域内，则z=2x+y的最大值为  A.6B.4C.2D.15.

2、已知双曲线x2a2−y2b2=1a,b>0的一条渐近线方程为y=3x，它的一个焦点坐标为2,0，求双曲线的方程  A.x22−y26=1B.x26−y22=1C.x2−y23=1D.y2−x23=16.某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其左视图的面积为  A.6B.92C.3D.327.抛物线y=x2上一动点M到直线l:x−y−1=0距离的最小值为  A.328B.83C.34D.3248.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为棱DD1、AB上的点，则下列判断中正确的个数有  ①A1C⊥平面B1EF；②△B1EF在

3、侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；④平面B1EF内与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，而与点F的位置无关．A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（共6小题；共30分）9.已知命题p:∀x∈R，x2−x+3>0，则¬p为 .10.定积分∫0πx+cosxdx= .11.在△ABC中，若a=3，b=7，∠B=5π6，则边c= .12.已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y=2x+1上，若圆C与两个坐标轴都相切，则圆C的标准方程为 .13.若抛

4、物线y=ax2的焦点与双曲线y23−x2=1的焦点重合，则a= .14.对于n∈N*，将n表示为n=a0⋅2k+a1⋅2k−1+⋯+ak−1⋅21+ak⋅20，当i=0时，ai=1，当1≤i≤k时，ai=0或1．记In为上述表示中a为0的个数（例如：1=1⋅20，4=1⋅22+0⋅21+0⋅20，所以I1=0，I4=2），则（1）I12= ；（2）I1+I2+⋯+I2048= ．三、解答题（共6小题；共78分）15.在数列an中，a1=12，an+1=3anan+3，求a2，a3，a4的值，并由此猜想数列an的通项公式，并用数学归纳

5、法加以证明.16.已知函数fx=1x+lnx.（1）求函数在x=e处的切线方程（2）写出函数的单调增区间和最值.17.在四棱锥P−ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，，PA=AB=2CD=4，PB=2AD=42，平面PAB⊥平面ABCD.（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角A−PC−D的余弦值；（3）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为33，求PQPB的值18.已知函数fx=lnx−a2x2+axa∈R．（1）当a=1时，求函数fx的单调区间；（2）若函数fx在区间1,+∞上单调递减，求实数a的取值

6、范围．19.已知点A0,1，B0,−1，P为一个动点，且直线PA、PB的斜率之积为−12.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设Q2,0，过点−1,0的直线l与C交于M，N两点，△QMN的面积记为S，对满足条件的任意直线l，不等式S≤λtan∠MQN恒成立，求λ的最小值．20.已知数列an，bn满足bn=an+1−an，其中n∈N*．（1）若a1=1，bn=n，求数列an的通项公式；（2）若bn+1bn−1=bnn≥2，且b1=1，b2=2．①记cn=a6n−1n≥1，求证：数列cn为等差数列；②若数列ann中任意一项的值均未在该数

7、列中重复出现无数次，求首项a1应满足的条件．答案第一部分1.C2.D3.A4.A5.C6.C7.A8.B【解析】对于①：A1C⊥平面B1EF，不一定成立．因为A1C⊥平面AB1D1，而平面B1EF与平面AB1D1不平行；对于②：△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论．因为其投影三角形的一边是棱BB1，而E点在面上的投影到此棱BB1的距离是定值，故正确；对于③：在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线．因为这两个平面相交，一个平面内平行于两个平面的交线得直线一定平行于另一个平面，此

8、结论正确；对于④：平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关，此结论不对，与两者都有关系，可代入几个特殊点进行验证，如F与A重合，E与D重合时的二面角与F与B重合，E与D重合时的情况就不一样