2、+y2=4上的每一点的纵坐标变为原来的一半,而横坐标不变,得一新椭圆C2,则C2与C1有 ( )A.相等的短轴长 B.相等的焦距C.相等的离心率D.相等的长轴长【解析】选C.把C1的方程化为标准方程,即C1:+=1,从而得C2:+y2=1.因此C1的长轴在y轴上,C2的长轴在x轴上.e1==e2,故离心率相等.【误区警示】解答本题时容易得到C2:+=1.而错选A.3.已知椭圆+=1(a>b>0)有两个顶点在直线x+2y=2上,则此椭圆的焦点坐标是 ( )A.(±,0)B.(0,±)C.(±,0)D.(0,±)【解析】选A.直线x+2y=
3、2与坐标轴的交点为椭圆的顶点,又因为椭圆的焦点在x轴上,所以a=2,b=1,所以c==.所以椭圆的焦点坐标是(±,0).4.(2016·南昌高二检测)椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若
4、AF1
5、,
6、F1F2
7、,
8、F1B
9、成等比数列,则此椭圆的离心率为 ( )A.B.C.D.-2【解析】选B.因为A,B分别为左右顶点,F1,F2分别为左右焦点,所以
10、AF1
11、=a-c,
12、F1F2
13、=2c,
14、BF1
15、=a+c,又由
16、AF1
17、,
18、F1F2
19、,
20、F1B
21、成等比数列得(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2
22、,所以离心率e=.【补偿训练】设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 ( )A. B. C.2- D.-1【解析】选D.设椭圆方程为+=1(a>b>0),因为F1(-c,0),所以P(-c,yP)代入椭圆方程得+=1,所以=,又因为b2=a2-c2,所以=2c,所以e2+2e-1=0,又0b>0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P99,F1为
23、椭圆的左焦点,则
24、F1A
25、+
26、F1P1
27、+
28、F1P2
29、+…+
30、F1P99
31、+
32、F1B
33、的值是 ( )A.98aB.99aC.100aD.101a【解析】选D.设F2为椭圆的右焦点,根据椭圆的定义及对称性有:
34、F1P1
35、=
36、F2P99
37、,
38、F1P2
39、=
40、F2P98
41、,…,
42、F1P49
43、=
44、F2P51
45、,因此
46、F1P1
47、+
48、F1P99
49、=
50、F1P2
51、+
52、F1P98
53、=…=
54、F1P49
55、+
56、F1P51
57、=
58、F1A
59、+
60、F1B
61、=2a.故结果应为50×2a+
62、F1P50
63、=101a.【误区警示】本题在求解过程中,易忽视
64、F1P50
65、,结果选C而致错.二
66、、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·武汉高二检测)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在y轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆方程为 .【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,所以设椭圆的方程为+=1(a>b>0).由得由a2=b2+c2,得b2=32.故椭圆的方程为+=1.答案:+=17.(2016·济南高二检测)已知椭圆+=1的离心率e=,则m的值为 .【解析】由椭圆的标准方程,易知m>0且m≠5.①若05,则a2=m,b2=5.由=1-=,得m=.所以m的值为3或.
67、答案:3或8.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为 .【解题指南】设P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出.【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,解得=3,因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+3=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,·取得最大值+2+3=6.答案:6【误区警示】解题中容易不考虑x0的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导
68、致错误.三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐
