课时提升作业 十 3.2.doc

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1、课时提升作业十一般形式的柯西不等式一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2016·珠海高二检测)已知a,b,c,x,y,z为正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则=　(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.【解析】选C.由已知得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2,结合柯西不等式,知===,所以=.2.已知x,y,z是非负实数,若9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值是　(　　)A.9B.10C.14D.15【解析】选A.因为(3x+6y+

2、5z)2≤[12+()2+()2]·[(3x)2+(2y)2+(z)2]=9(9x2+12y2+5z2)=81,所以3x+6y+5z≤9.当且仅当x=,y=,z=1时,等号成立.故u=3x+6y+5z的最大值为9.3.已知a2+b2+c2=1,若a+b+c≤

3、x+1

4、对任意实数a,b,c恒成立,则实数x的取值范围是　(　　)A.x≥1或x≤-3B.-3≤x≤1C.x≥-1或x≤3D.-1≤x≤3【解题指南】根据题目中的a2+b2+c2=1和a+b+c≤

5、x+1

6、的结构形式,可以联想使用柯西不等式.【解析】选A.由柯西不等式得:(a2+b2+

7、c2)(1+1+2)≥(a+b+c)2,所以a+b+c≤2,又因为a+b+c≤

8、x+1

9、,所以

10、x+1

11、≥2,解之得x≥1或x≤-3.二、填空题(每小题4分,共8分)4.已知x,y,z∈R,且2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为______.【解析】因为[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](4+4+1)≥(2x+2y+z-1)2=81,所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥9.答案:95.设a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值是________.【解析】(a+b+c)=[()2+

12、()2+()2]≥=(2+3+6)2=121.当且仅当==时等号成立.答案:121三、解答题6.(10分)(2016·深圳高二检测)已知定义在R上的函数f(x)=+的最小值为a,又正数p,q,r满足p+q+r=a.求证p2+q2+r2≥3.【证明】因为f(x)=+≥=3,即函数f(x)=+的最小值a=3.所以p+q+r=3.由柯西不等式得(p2+q2+r2)(1+1+1)≥(p+q+r)2=9,于是p2+q2+r2≥3.一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是　(　　)A.　　　　　B

13、.　　　　　C.6　　　　　D.3【解析】选B.由柯西不等式,得(12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2]≥[x+y+(1-x-y)]2=1.即x2+y2+(1-x-y)2≥.当且仅当x=y=1-x-y.即x=y=时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值.【补偿训练】(2015·珠海高二检测)已知++…+=1,++…+=1,则a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是　(　　)A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4【解析】选A.因为(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(++…+)×(++…+)=1×1.当且仅当==…=时

14、,等号成立.所以a1x1+a2x2+…+anxn的最大值为1.2.(2016·长沙高二检测)已知α为锐角,则的最小值为(　　)A.3-2B.3+2C-1D.+1【解析】选B.≥,当且仅当sinα=cosα时等号成立,此时==3+2.即的最小值为3+2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.方程2+=的解为________.【解题指南】利用柯西不等式等号成立的条件构建方程求解.【解析】由柯西不等式,得(2+)2=≤[22+()2]=6×=15,即2+≤.当且仅当=,即x=-时,等号成立.故原方程的根是x=-.答案:x=-4.(2016·西安高

15、二检测)边长为a,b,c的三角形ABC,其面积为,外接圆半径为1,若s=++,t=++,则s与t的大小关系是________.【解析】由已知得absinC=,=2R=2.所以abc=1,所以++=ab+bc+ca,由柯西不等式得(ab+bc+ca)≥(++)2,所以≥(++)2.即++≥++.当且仅当a=b=c=1时等号成立.答案:s≤t三、解答题5.(10分)(2016·石家庄高二检测)设a1>a2>…>an>an+1,求证:++…++>0.【证明】为了运用柯西不等式,我们将a1-an+1写成a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)

16、+…+(an-an+1),于是[(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1)]·≥n2>1.即(a1-an+1)·(++…+)>1,所以++…+>,故++…++>0.