初 三 数 学（第5讲）一元二次方程2.doc

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1、初三数学（第5讲）主讲教师：谢潮（苏州立达中学）一、本讲内容第22章一元二次方程§22.3实践与探索二、重点讲解1.列一元二次方程解应用题通过对实际问题的数量关系的探索，进一步体验方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型。在解题过程中，注意几点：（1）注意挖掘题目中隐含的等量关系；（2）注意语言与代数表达式的互化；（3）注意单位问题。（4）注意检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义。 2.一元二次方程的根的判别式。方程有两个不相等的实数根。方程有两个相等的实数根。方程无实数根。注意：（1）根的判别式是指，而不是；（2）使用根的判别式之前一定要

2、把方程变为一元二次方程的一般形式。 3.一元二次方程根与系数的关系如果是一元二次方程的两根，那么，。注意应用根与系数的关系的前提条件：（1）注意二次项系数a≠0；（2）是在有实数根的条件下，即。三、典型例题例1.某木器厂今年一月份生产课桌500张，因管理不善，2月份的产量减少了10%，从3月份起加强了管理，产量逐月上升，4月份的产量达到了648张，求工厂3月份和4月份的平均增长率。解：设工厂3月份和4月份的平均增长率为x。9答：工厂3月份和4月份的平均增长率为20%。 例2.如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相

3、垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？解：设道路宽为xm解此方程，得（不合题意，舍去）答：道路宽为1米。 例3.小明将勤工俭学挣得的100元钱，按一年定期存入“少儿银行”，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共66元，求这种存款的年利率。解：设这种存款年利率为x，根据题意，可得化简，得解得。不符合题意，舍去。所以，原题的解是。答：这种存款的年利率为10%。 例4.若方程没有实数根，求证方程一定有两个不相等的实数根。

4、解：∵无实数根，∴解得9而方程的判别式，即。∴一定有两个不相等的实数根。 例5.小红说，关于x的一元二次方程，没有实数根，她说得对吗？为什么？解：∵由于∴此方程没有实数根，∴小红说得对。 例6.若关于x的方程有实数根，求m的取值范围。解：当方程是一元二次方程时，m应满足∴。当方程是一元二次方程，即当m=0时，方程也有实数根。综合两种情况可知，当时，方程有实数根。 例7.已知，关于x的方程的两个实数根的平方和等于6，求k的值。解：设方程的两个根为，则又∵9当不符合题意，舍去。当即为所求。 例8.已知一元二次方程，求作一个一元二次方程，使它的两根分别是原

5、方程各根的倒数的平方，则所求的新方程是（）。解法1：设原方程的两根为，则设新方程的两根为，则，所以，所求方程为。解法2：设原方程的根为x，新方程的根为y。因为新方程的两根分别是原方程各根的倒数的平方，且由原方程可知x≠0，所以，解出x，得，代入原方程，得为去掉根号，两边平方，去根号，整理得 例9.甲、乙两人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后，乙还需30分钟，才能到达A地，求乙每小时走多少千米？分析：如果设乙每小时走x千米，那么相遇前、后甲每小时分别走x千

6、米、（x＋1）千米，由于甲、乙走过的路程相同，而时间相差30分钟。另外，相遇前甲、乙的速度相同，且同时出发，所以相遇前甲、乙各走了路程的一半，而在各自剩下的一半路程中时间相差30分钟。解：设乙每小时走x千米，则相遇前后甲每小时走x千米，（x＋1）千米。9答：乙每小时走4千米。 例10.解法一：分析：此二元二次方程组是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成，因此可以采用代入消元法求解，仔细观察这个方程组的特征，可以发现，方程<1>恰是两数之和等于7，方程<2>恰是两数之积等于12。这样，解这类方程组就转化为已知两数和与积求两数的问题了。因此，可以将x

7、、y看作某一个一元二次方程的两个根，构造一个一元二次方程，从而得到原方程组的解。解法二： 例11.分析：解：9 例12.有一种质量为30克的金属块，现将它切成大小两块，将较大的一块放在一架不等臂的天平的左盘中，称得质量为27克；又将较小的一块放在天平的右盘中，称得质量为8克。若只考虑天平的臂长不等，其它因素忽略不计，请你依据物理学中的杠杆平衡原理，求出两块金属的质量。分析：根据物理学中的杠杆的平衡原理列出方程组进行求解。解：设较大金属块的质量为x克，则较小的质量为（30－x）克若天平左、右臂长分别为acm和bcm，由杠杆平衡原理，得：答：较大金属块的

8、质量为18克，较小的质量为12克。 本题是一道跨学科的学科间综合题，涉及了物理中的杠杆平衡原理，并且它是解本