3.2.4二面角及其度量.doc

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1、3．2．4二面角及其度量一、学习目标掌握二面角的概念，会利用向量和平面的法向量求解二面角的大小．二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1．已知二面角a－l－b的大小为，直线aa，a与b所成的角为q，则()A．≥qB．≤qC．当＞90°时，＞q；当≤90°时，≤qD．与q的大小关系不确．2．自二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．既不相等也不互补3．如图所示，PA＝PB＝PC，且它们所成的角均为60°，则二面角B－PA－C的余弦值是()A．B．C．D

2、．4．在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，，这时二面角B－AD－C的大小为()A．60°B．45°C．90°D．120°(二)填空题5．△ABC的边BC在平面a内，A在a内的射影是A1，设ABC的面积为S，它和平面a交成的一个二面角的大小为q(q锐角)，则△A1BC的面积是______．6．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P－BC－A的大小是______．7．已知二面角a－AB－b是直二面角，P是棱AB上一点，PE、PF分别在面a，b内，∠EPB＝∠FPB＝45°，那么∠

3、EPF的大小是______．8．给出下列四个命题：(1)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直；(2)过平面外一定直线有且只有一个平面与已知平面垂直；(3)垂直于同一平面的两个平面可能相互平行，也可能相互垂直；(4)如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面．那么这两个二面角的平面角相等或互补．其中正确的命题的序号是______．9．已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，PA＝3，AB＝2，，则二面角P－BD－A的正切值为______．(三)解答题10．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝1，AD＝DC＝，在线段A1C1上有一点

4、Q，且，求平面QDC与平面A1DC所成锐二面角的大小．11．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，PA＝4，AD＝2，AB＝，BC＝6，求二面角A－PC－D的余弦值．*12．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为．三、自我评价完成时间成功率札记参考答案3．2．4二面角及其度量1．A2．C3．B4．A5．Scosq6．90°7．60°8．(3)9．10．解：建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，．．设平面A1C

5、D，平面QCD的一个法向量分别为，由令x1＝1，∴z1＝由令x2＝1，∴z1＝．．即平面QDC与平面A1DC所成锐二面角为．11．解：如图，建立坐标系，则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，6，0)，D(0，2，0)，P(0，0，4)，所以，设平面PCD的法向量为，则解得同理可求得平面PAC的法向量为所以∴二面角A－PC－D的余弦值为．12．解：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE＝x，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0)．．设平面D1EC的法向量，由

6、令b＝1，∴c＝2，a＝2－x．∴＝(2－x，1，2)．依题意．∴(舍去)，∴时，二面角D1－EC－D的大小为．