中考数学提升讲义-共顶点旋转模型及其延伸

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1、中考数学共顶点旋转模型一、题源分析（人教版八年级上册第55页）如图，,求证（人教版九年级上册第63页）如图，都是等边三角形，BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？二、共顶点旋转模型简要概述共顶点模型，是指两个等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。例如上题中的三角形ADC和三角形ABE。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：（1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。典例分析1：（2014年河南）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，

2、点A、D、E在同一直线上，连接BE填空：（1）∠AEB的度数为；（2）线段AD、BE之间的数量关系是。（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=900,点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。思路点拨：（1）第一问，考虑到两个等边三角形有一个公共顶点C，在点C处可以找到两组相等的边，列出来即可表示为：，观察边的形式，就可以得到全等的两个三角形是：.（2）类比第一问，可以得到，故而全等的三角形为，之后再做计算即可。典例分析2：（2015年安徽）如图1，在四边形ABC

3、D中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．（1）求证：AD＝BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．思路点拨：（1）第一问，结合共顶点旋转全等模型即可（2）类比第一问，全等模型的延伸，相似模型。根据，类比全等证明相似。（3）结合前两问的相似即可得到即为相似比，亦即求解的值即可。典例分析3：（2011年广州中考）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．（1）证明：B、C

4、、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：。思路点拨：（1）第一问，共顶点旋转模型（2）根据第一问的全等证明即可构造旋转模型求解。三、共顶点旋转模型的应用1．半角模型：所谓半角模型，是指在从角的顶点向角内部引出两条直线，这两条直线形成的夹角恰好等于原角的一半大小。典例分析1：（2014年四川绵阳）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为　　．思路点拨：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90°即可。典例分析2：（2016•南岗区模拟）已知△ABC是等边三角形，点D在△ABC外，连接BD、CD，

5、且∠BDC=120°，BD=DC，点M，N分别在边AB，AC上，连接DM、DN、MN，∠MDN=60°，探究：△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1，当DM=DN时，=　　　　　　；（2）如图2，当DM≠DN时，猜想=　　　　　　；并加以证明．思路点拨：典型的半角模型，将三角形DCN绕点D逆时针旋转120°即可。总结：（1）半角模型的基本形式：大角包小角，小角得一半（2）半角模型的解题方法：将被两条直线分开的两个角中任意一个旋转全角大小即可。延伸例题：（2016春•黄岛区期中）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、E

6、F、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足　　　　　　关系时，仍有EF=BE+FD．【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=（40﹣40）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道

7、路EF的长为　　　　　　米．2．K字模型：所谓K字模型，与半角模型类似，实则是指构成的图形类似于“K”字。题源：人教版课本新课标八年级下册第30页，勾股定理的证明。典例分析1：（2014年四川南充）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1）思路点拨：过点C作x轴的垂线即可。典例分析2：（2015山东省