自考高等数学一精讲第三章

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1、第三章　一元函数的导数和微分3.1　导数概念　　一、问题的提出　　1.切线问题　　割线的极限位置——切线位置　　　　如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线.　　极限位置即　　　　　　切线MT的斜率为　　2.自由落体运动的瞬时速度问题43　　二、导数的定义　　设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点处的导数，记为　　即　　　　其它形式　　　　　　关于

2、导数的说明：　　在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。　　如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。　　对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）的导函数，记作　　　　　　注意：　　43　　2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数.　　导数定义例题：　　例1、115页8　　设函数f（x）在点x=a可导，求：　　（1）　　【答疑编号11030101】　　（2）　　【答疑编号11030102】　　三、单侧导数　　1.左导数：　　43　　2.右导数：

3、　　　　函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等.　　例2、讨论函数f（x）=

4、x

5、在x=0处的可导性。　　【答疑编号11030103】　　解　　闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导.　　由定义求导数　　步骤：　　　　　　　　例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。　　【答疑编号11030104】43　　解　　　　　　例4、设函数　　【答疑编号11030105】　　解　　　　　　　　同理可以得到　　　　　　例5、求　　例6、求函数的导数。　　【答疑编号11030106】　　解　　43　　

6、　　　　　　　　　　例7、求函数的导数。　　【答疑编号11030107】　　解　　　　　　　　　　　　四、常数和基本初等函数的导数公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　五、导数的几何意义　　表示曲线y=f（x）在点处的切线的斜率，即43　　　　切线方程为　　法线方程为　　例8、求双曲线处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。　　【答疑编号11030108】　　解　　由导数的几何意义,得切线斜率为　　　　所求切线方程为43　　法线方程为　　六、可导与连续的关系　　1.定理凡可导函数都是连续函数.　　注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导。　　

7、我们有：不连续一定不可导　　极限存在、连续、可导之间的关系。　　2.连续函数不存在导数举例　　例9、讨论函数在x=0处的连续性与可导性。　　【答疑编号11030109】　　解：43　　例10、P115第10题　　设，α在什么条件下可使f（x）在点x=0处。　　（1）连续；（2）可导。　　【答疑编号11030110】　　解：（1）　　（2）43　　七、小结　　1.导数的实质：增量比的极限；　　2.导数的几何意义：切线的斜率；　　3.函数可导一定连续，但连续不一定可导；　　4.　　5.求导数最基本的方法：由定义求导数.　　6.判断可导性　　3.2　求导法则3.3　基本求导

8、公式　　一、和、差、积、商的求导法则　　1.定理：　　如果函数43在点x处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也可导，并且　　　　推论　　　　　　　　2.例题分析　　例1、求的导数。　　【答疑编号11030201】　　解　　　例2、求的导数。　　【答疑编号11030202】　　解43　　例3、求y=tanx的导数。　　【答疑编号11030203】　　解　　同理可得　　　　例4、求y=secx的导数。　　【答疑编号11030204】　　解43　　同理可得　　　　例5、131页例2　　设，求.　　【答疑编号11030205】　　二、反函数的导数　　1.定理：

9、　　如果函数在某区间内单调、可导且，那么它的反函数在对应区间内也可导，且有　　即　反函数的导数等于直接函数导数的倒数.　　2.例题分析　　例6、求函数y=arcsinx的导数　　【答疑编号11030206】　　解　　　　　　　　同理可得　　43　　　　　　例7、求函数的导数。　　【答疑编号11030207】　　解　　　　　　　　特别地　　　　　　三、小结：初等函数的求导问题　　1.常数和基本初等函数的导数公式　　　　　　　　　　　　2.函数的和、差、积、商的求导法则　　设　　u=u（x），v=v（x）可导，则　　43　　例8、127页1题（6）（14