自考高等数学(一)精讲第二章

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1、自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)第二章　极限和连续2.1　数列极限　　　　一、概念的引入（割圆术）　　“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽　　正六边形的面积A1　　正十二边形的面积A2　　正6×2n-1形的面积An　　A1，A2，A3，…，An，…→…S　　　　二、数列的定义　　定义:按自然数1，2，3…编号依次排列的一列数x1，x2，…，xn，…（1）　　称为无穷数列，简称数列。其中的每个数称为数列的项，xn称为通项（一般项）。数列（1）记为{xn}。　　例如　　2，4，8，…，2n，…

2、；{2n}　　　　　　64北京自考吧www.bjzikao8.com自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)　　注意：　　（1）数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取　　（2）数列是整标函数xn=f（n）　　　　三、数列的极限　　1.定义设{xn}是一数列，如果存在常数a，当n无限增大时，xn无限接近于常数a，则称数列{xn}收敛，a是数列{xn}的极限，或者称数列xn收敛于a，记为　　。　　如果数列没有极限，就说数列是发散的。　　例如　　2，4，8，…，2n，…；{2n}，发散　　，发散　　收敛于0　　2.数列极限的性质　

3、　（1）唯一性　　定理每个收敛的数列只有一个极限。　　（2）有界性　　定义:对数列xn，若存在正数M，使得一切自然数n,恒有

4、xn

5、≤M成立,则称数列xn64北京自考吧www.bjzikao8.com自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)有界，否则，称为无界。　　例如，数列有界，数列无界　　数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间[-M，M]上。　　定理收敛的数列必定有界。　　注意：有界性是数列收敛的必要条件。　　推论无界数列必定发散。　　（3）保号性　　收敛数列的保号性：假设数列{αn}收敛，其极限为α，　　1）若有正整数N，n＞N时

6、，αn＞0（或＜0），则α≥0（或α≤0）　　2）若α＞0（或＜0，则有正整数N，使得当n＞N时，αn＞0（或＜0）2.2　级数　　1.级数的定义:　　称为数项无穷级数（或简称数项级数），un为一般项。　　2.级数的部分和　　64北京自考吧www.bjzikao8.com自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)　　3.部分和数列　　　　　　4.级数的收敛与发散　　当n无限增大时，如果级数的部分和数列Sn有极限S，即则称无穷级数收敛,这时极限S叫做级数的和,并写成。　　如果Sn没有极限，则称无穷级数发散。　　数项级数收敛存在　　例1.讨论等

7、比级数（几何级数）　　（a≠0）的收敛性。　　【答疑编号11020101】64北京自考吧www.bjzikao8.com自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)　　解：如果q≠1时，　　　　　　当

8、q

9、＜1时,收敛　　当

10、q

11、＞1时发散　　如果

12、q

13、=1时　　当

14、q

15、=1时，，级数发散　　当q=-1时，级数变为α-α+α-α+…　　不存在，级数发散　　综上64北京自考吧www.bjzikao8.com自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)　　例2.（56页1（3））判断下列级数的敛散性，并

16、在收敛时求出其和：　　　　【答疑编号11020102】　　解：　　由　　得级数收敛，其和为。　　例3.判断级数的敛散性　　【答疑编号11020103】　　例4.判断级数的敛散性，并在收敛时求出其和　　【答疑编号11020104】64北京自考吧www.bjzikao8.com自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)　　例5.判别无穷级数　　的收敛性。　　【答疑编号11020105】　　解　　　　　　　　　　∴级数收敛，和为。2.3　函数极限64北京自考吧www.bjzikao8.com自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjz

17、ikao8.com高等数学(一)　　两种情形:　　（1）x→∞情形：　　（2）x→x0情形：　　一、自变量趋于无穷大时函数的极限　　定义：设M是任意一个正数，函数f（x）在上有定义，如果存在常数A，当

18、x

19、无限增大（即

20、x

21、→∞）时，f（x）无限接近于A，则称A为函数f(x)当x→∞时的极限，或简称为f（x）在无穷大处的极限，记为或f(x)→A，当x→∞时。　　　　定理：　　例1.（60页例5、例6）求下列函数的极限　　（1）　　【答疑编号11