自考高等数学(一)精讲第五章

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1、自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)第五章　一元函数积分学5.1　原函数和不定积分的概念　　　　一、原函数与不定积分的概念　　定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。　　例：，sinx是cosx的原函数。　　　　Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。　　原函数存在定理：　　如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使98北京自考吧www.bjzikao8.com自考复习资料由北京自考吧整

2、理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)，都有F＇（x）=f（x）。　　简言之：连续函数一定有原函数。　　问题：（1）原函数是否唯一？　　（2）若不唯一它们之间有什么联系？　　例：（sinx）＇=cosx　（sinx+C）＇=cosx　　（C为任意常数）　　关于原函数的说明：　　（1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。　　（2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数）　　证∵[F（x）-G（x）]＇=F＇（x）-G＇（x）　　=f（x）=f（x）=0　　∴F（x

3、）-G（x）=C（C为任意常数）　　不定积分的定义：　　函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。　　,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，C为任意常数。　　例：求。　　【答疑编号11050101】98北京自考吧www.bjzikao8.com自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)　　解：　　例：求。　　【答疑编号11050102】　　解：　　　　积分曲线　　例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。　　【答疑编号

4、11050103】　　解：设曲线方程为y=f（x）,　　根据题意知　　即f（x）是2x的一个原函数。　　　　由曲线通过点（1，2）　　所求曲线方程为y=x2+1。　　函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。显然，求不定积分得到一积分曲线族。　　不定积分的性质　　98北京自考吧www.bjzikao8.com自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)　　　　结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。5.2　基本积分公式　　实例　　启示能否根据求导公式得出积分公式？　　结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根

5、据求导公式得出积分公式。　　基本积分表　　（1）；　　（2）；98北京自考吧www.bjzikao8.com自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)　　（3）；　　说明：　　　　　　简写为　　（4）；98北京自考吧www.bjzikao8.com自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)　　（5）；　　（6）；　　（7）；　　（8）；　　（9）；　　（10）；　　（11）；　　（12）；　　（13）；　　例：求积分　　【答疑编号11050104】　　解：　　根据积分公式（2

6、）98北京自考吧www.bjzikao8.com自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)　　　　不定积分的性质　　（1）；　　证　　。　　∴等式成立。　　（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）　　（2）（k是常数，k≠0）　　例：求积分。　　【答疑编号11050201】　　解：　　　　　　例：求积分98北京自考吧www.bjzikao8.com自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)。　　【答疑编号11050202】　　解：　　　　。　　例：。　　【答疑编号110502

7、03】　　解：　　　　。98北京自考吧www.bjzikao8.com自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)　　例：；　　【答疑编号11050204】98北京自考吧www.bjzikao8.com自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)　　例：已知f（x）之一原函数为sin3x，求∫f＇（x）dx。　　【答疑编号11050205】　　【答疑编号11050206】98北京自考吧www.bjzikao8.com自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzik